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非线性科学 > 精确可解与可积系统

arXiv:1108.0122 (nlin)
[提交于 2011年7月31日 (v1) ,最后修订 2011年8月25日 (此版本, v2)]

标题: 关于负阶KdV方程

标题: On Negative Order KdV Equations

Authors:Zhijun Qiao, Engui Fan
摘要: 在本文中,基于常规KdV系统,我们研究了负阶KdV(NKdV)方程的哈密顿结构、Lax对、无限多守恒律以及通过双线性Bäcklund变换得到的显式多孤子和多拐波解。 我们在论文中研究的NKdV方程是微分方程,并且实际上是从负阶KdV层次中的第一个成员导出的。 NKdV方程不仅通过一些hodograph变换与Camassa-Holm方程等价,而且与Ermakov-Pinney系统和Kupershmidt变形密切相关。 在迹恒等式和其Lax对的帮助下,分别构造了NKdV方程的双哈密顿结构和Darboux变换。 通过Darboux变换给出了单个和双拐波及钟形孤子解的显式公式。 1-拐波解以$tanh$的形式表示,而1-钟形孤子解以$sech$的形式表示,这两种形式都非常标准。 对2-拐波解和2-钟形孤子解的碰撞进行了详细分析,这种奇异相互作用与常规KdV方程有很大的不同。 利用多维二元钟形多项式来寻找双线性形式和Bäcklund变换,这些变换产生了$N$-孤子解。 提出了一种直接且统一的方案,用于显式构建NKdV方程的准周期波解。 此外,清楚地描述了准周期波解与孤子解之间的关系。 最后,我们展示了在某些极限条件下,准周期波解收敛到孤子解。
摘要: In this paper, based on the regular KdV system, we study negative order KdV (NKdV) equations about their Hamiltonian structures, Lax pairs, infinitely many conservation laws, and explicit multi-soliton and multi-kink wave solutions thorough bilinear B\"{a}cklund transformations. The NKdV equations studied in our paper are differential and actually derived from the first member in the negative order KdV hierarchy. The NKdV equations are not only gauge-equivalent to the Camassa-Holm equation through some hodograph transformations, but also closely related to the Ermakov-Pinney systems, and the Kupershmidt deformation. The bi-Hamiltonian structures and a Darboux transformation of the NKdV equations are constructed with the aid of trace identity and their Lax pairs, respectively. The single and double kink wave and bell soliton solutions are given in an explicit formula through the Darboux transformation. The 1-kink wave solution is expressed in the form of $tanh$ while the 1-bell soliton is in the form of $sech$, and both forms are very standard. The collisions of 2-kink-wave and 2-bell-soliton solutions, are analyzed in details, and this singular interaction is a big difference from the regular KdV equation. Multi-dimensional binary Bell polynomials are employed to find bilinear formulation and B\"{a}cklund transformations, which produce $N$-soliton solutions. A direct and unifying scheme is proposed for explicitly building up quasi-periodic wave solutions of the NKdV equations. Furthermore, the relations between quasi-periodic wave solutions and soliton solutions are clearly described. Finally, we show the quasi-periodic wave solution convergent to the soliton solution under some limit conditions.
评论: 61页,4图
主题: 精确可解与可积系统 (nlin.SI)
引用方式: arXiv:1108.0122 [nlin.SI]
  (或者 arXiv:1108.0122v2 [nlin.SI] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.1108.0122
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI

提交历史

来自: Engui Fan [查看电子邮件]
[v1] 星期日, 2011 年 7 月 31 日 01:46:37 UTC (282 KB)
[v2] 星期四, 2011 年 8 月 25 日 06:06:21 UTC (284 KB)
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