标题： 关于扩展双循环半群的闭包 显示英文标题

标题： On the closure of the extended bicyclic semigroup

摘要： 在本文中，我们研究了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$，它是双循环半群的一个推广。 我们描述了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$的主要代数性质，并证明了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$上的每个非平凡同余$\mathfrak{C}$都是一个群同余，并且进一步商半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}/\mathfrak{C}$同构于一个循环群。 此外，我们还证明了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$作为豪斯多夫半拓扑半群只能具有离散拓扑。 接下来我们研究半群 $\operatorname{cl}_T(\mathscr{C}_{\mathbb{Z}})$ 在一个拓扑半群 $T$ 中的闭包 $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$。 我们证明了当 $H(1_T)\neq\varnothing$ 和 $I\neq\varnothing$ 成立时，在一个拓扑逆半群 $T$ 中， $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ 的非空余项由单位元群 $H(1_T)$ 和理想 $I$ 组成，其中单位元群属于 $T$，理想属于 $T$。 当$T$是局部紧致拓扑逆半群且$I\neq\varnothing$成立时，我们证明理想$I$在拓扑上同构于离散加法整数群，并描述子半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}\cup I$上的拓扑。 此外我们证明，如果半群 $T$ 的单位群 $H(1_T)$ 非空，则 $H(1_T)$ 要么是单元素集合，要么 $H(1_T)$ 在拓扑上同构于离散加法整数群。 显示英文摘要

摘要： In the paper we study the semigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ which is a generalization of the bicyclic semigroup. We describe main algebraic properties of the semigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ and prove that every non-trivial congruence $\mathfrak{C}$ on the semigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ is a group congruence, and moreover the quotient semigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}/\mathfrak{C}$ is isomorphic to a cyclic group. Also we show that the semigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ as a Hausdorff semitopological semigroup admits only the discrete topology. Next we study the closure $\operatorname{cl}_T(\mathscr{C}_{\mathbb{Z}})$ of the semigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ in a topological semigroup $T$. We show that the non-empty remainder of $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ in a topological inverse semigroup $T$ consists of a group of units $H(1_T)$ of $T$ and a two-sided ideal $I$ of $T$ in the case when $H(1_T)\neq\varnothing$ and $I\neq\varnothing$. In the case when $T$ is a locally compact topological inverse semigroup and $I\neq\varnothing$ we prove that an ideal $I$ is topologically isomorphic to the discrete additive group of integers and describe the topology on the subsemigroup $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}\cup I$. Also we show that if the group of units $H(1_T)$ of the semigroup $T$ is non-empty, then $H(1_T)$ is either singleton or $H(1_T)$ is topologically isomorphic to the discrete additive group of integers.