标题： Logistic 回归系数的符号 显示英文标题

标题： The sign of the logistic regression coefficient

摘要： 设 Y 是一个二元随机变量，X 是一个标量。 令 $\hat\beta$ 为在有截距的情况下对 Y 关于 X 进行逻辑回归时斜率的最大似然估计。 进一步设 $\bar x_0$ 和 $\bar x_1$ 分别为 y=0 和 y=1 的样本 x 值的平均值。 然后，在排除可分离预测变量的条件下，我们证明了 sign($\hat\beta$) = sign($\bar x_1-\bar x_0$)。 更一般地，如果 $x_i$ 是向量值的，则我们证明 $\hat\beta=0$ 当且仅当 $\bar x_1=\bar x_0$。 对于满足对数凹性条件的逻辑回归以及更一般的具有逆链接函数的二元回归，该结论均成立。 最后，当 $\bar x_1\ne \bar x_0$ 时，在满足对数凹性条件和分离条件的二元回归中，如果设计矩阵满秩，则 $\hat\beta$ 和 $\bar x_1-\bar x_0$ 之间的夹角小于九十度。 显示英文摘要

摘要： Let Y be a binary random variable and X a scalar. Let $\hat\beta$ be the maximum likelihood estimate of the slope in a logistic regression of Y on X with intercept. Further let $\bar x_0$ and $\bar x_1$ be the average of sample x values for cases with y=0 and y=1, respectively. Then under a condition that rules out separable predictors, we show that sign($\hat\beta$) = sign($\bar x_1-\bar x_0$). More generally, if $x_i$ are vector valued then we show that $\hat\beta=0$ if and only if $\bar x_1=\bar x_0$. This holds for logistic regression and also for more general binary regressions with inverse link functions satisfying a log-concavity condition. Finally, when $\bar x_1\ne \bar x_0$ then the angle between $\hat\beta$ and $\bar x_1-\bar x_0$ is less than ninety degrees in binary regressions satisfying the log-concavity condition and the separation condition, when the design matrix has full rank.