标题： 秩一矩阵估计中的互信息 显示英文标题

标题： Mutual Information in Rank-One Matrix Estimation

摘要： 我们考虑从已知带有噪声且可能是非线性逐元素测量的 xxT 的知识来估计一个 n 维向量 x，这是一个非常通用的问题，包含例如： 随机二块模型、子矩阵定位或随机矩阵的尖峰扰动。 我们使用由 Guerra 提出并由 Korada 和 Macris 后续改进的插值方法。 我们证明了 Bethe 互信息（与 Bethe 自由能相关，并被 Lesieur 等人基于非严谨的空腔方法推测为精确值）总是给出确切互信息的上界。 我们还用类似技术提供了下界。 为了具体说明，我们在稀疏 PCA 问题上展示了我们的发现，并观察到 (a) 在一大类参数范围内我们的上下界匹配；(b) 存在一个谱信息无用的区域存在相变。 虽然我们仅展示了秩一对称矩阵估计的情况，但我们的证明技术可以轻松扩展到低秩对称矩阵或低秩对称张量估计。 显示英文摘要

摘要： We consider the estimation of a n-dimensional vector x from the knowledge of noisy and possibility non-linear element-wise measurements of xxT , a very generic problem that contains, e.g. stochastic 2-block model, submatrix localization or the spike perturbation of random matrices. We use an interpolation method proposed by Guerra and later refined by Korada and Macris. We prove that the Bethe mutual information (related to the Bethe free energy and conjectured to be exact by Lesieur et al. on the basis of the non-rigorous cavity method) always yields an upper bound to the exact mutual information. We also provide a lower bound using a similar technique. For concreteness, we illustrate our findings on the sparse PCA problem, and observe that (a) our bounds match for a large region of parameters and (b) that it exists a phase transition in a region where the spectum remains uninformative. While we present only the case of rank-one symmetric matrix estimation, our proof technique is readily extendable to low-rank symmetric matrix or low-rank symmetric tensor estimation