数学 > 偏微分方程分析
[提交于 2016年7月7日
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标题: 一类涉及一般临界增长的Kirchhoff型问题的多个正解
标题: Multiple positive solutions for a class of Kirchhoff type problems involving general critical growth
摘要: 在本文中,我们研究以下涉及临界增长的非线性 Kirchhoff 问题: $$ \left\{% \begin{array}{ll} -(a+b\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx)\Delta u=|u|^4u+\lambda|u|^{q-2}u, u=0\ \ \text{on}\ \ \partial\Omega, \end{array}% \right. $$ 其中 $1<q<2$, $\lambda,\ a,\ b>0$是参数且 $\Omega$是 $\R^3$中的一个有界区域。 我们证明存在 $\lambda_1=\lambda_1(q,\Omega)>0$ 使得对于任意的 $\lambda\in(0,\lambda_1)$ 和 $a,\ b>0$,上述 Kirchhoff 问题至少有两个正解,其中一个为正的基态解。 我们还建立了当参数 $b\searrow 0$时基态解的收敛性性质。 更一般地,我们得到关于以下Kirchhoff问题的相同结果:$$ \left\{% \begin{array}{ll} -(a+b\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2dx)\Delta u+u=Q(x)|u|^4u+{\lambda}f(x)|u|^{q-2}u, u\in H^1(\mathbb{R}^3), \end{array}% \right. $$对于任何$a,\ b>0$和$\lambda\in \big(0,\lambda_0(q,Q,f)\big)$在$f(x)$和$Q(x)$的某些条件之下。 最后,我们研究$\lambda_0$和$b$之间的依赖关系,以证明对于任何(大)$\lambda>0$,存在一个$b_0(\lambda)>0$,使得当$b>b_0(\lambda)$和$a>0$时上述结果成立。
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