标题： 连续体中空间马尔可夫演化的随机平均原理 显示英文标题

标题： Stochastic averaging principle for spatial Markov evolutions in the continuum

摘要： 我们研究在局部有限配置空间 $\Gamma^+ \times \Gamma^-$上的时空出生-死亡过程，其定义于 $\mathbb{R}^d$上。 动力学由从福克-普朗克方程得到的非平衡状态演化描述，并与马尔可夫算子 $L^+(\gamma^-) + \frac{1}{\varepsilon}L^-$，$\varepsilon > 0$相关。 这里 $L^-$ 描述了在 $\Gamma^-$ 上的环境过程，而 $L^+(\gamma^-)$ 描述了在 $\Gamma^+$ 上的系统过程，其中 $\gamma^-$ 表示相应的出生-死亡率依赖于另一个局部有限的配置 $\gamma^- \in \Gamma^-$。 我们证明了，对于某一类出生-死亡率，相应的福克-普朗克方程是适定的，即 存在一个唯一的状态演化$\mu_t^{\varepsilon}$在$\Gamma^+ \times \Gamma^-$上。 此外，我们给出一个充分条件，使得环境以指数速率遍历。 令$\mu_{\mathrm{inv}}$为在$\Gamma^-$上的环境过程的不变测度。 在本工作的主要部分，我们建立了随机平均原理，即 我们证明了$\mu_t^{\varepsilon}$在$\Gamma^+$上的边缘分布弱收敛到与平均马尔可夫生灭算子$\overline{L} = \int_{\Gamma^-}L^+(\gamma^-)d \mu_{\mathrm{inv}}(\gamma^-)$相关的$\Gamma^+$上的状态演化。 显示英文摘要

摘要： We study a spatial birth-and-death process on the phase space of locally finite configurations $\Gamma^+ \times \Gamma^-$ over $\mathbb{R}^d$. Dynamics is described by an non-equilibrium evolution of states obtained from the Fokker-Planck equation and associated with the Markov operator $L^+(\gamma^-) + \frac{1}{\varepsilon}L^-$, $\varepsilon > 0$. Here $L^-$ describes the environment process on $\Gamma^-$ and $L^+(\gamma^-)$ describes the system process on $\Gamma^+$, where $\gamma^-$ indicates that the corresponding birth-and-death rates depend on another locally finite configuration $\gamma^- \in \Gamma^-$. We prove that, for a certain class of birth-and-death rates, the corresponding Fokker-Planck equation is well-posed, i.e. there exists a unique evolution of states $\mu_t^{\varepsilon}$ on $\Gamma^+ \times \Gamma^-$. Moreover, we give a sufficient condition such that the environment is ergodic with exponential rate. Let $\mu_{\mathrm{inv}}$ be the invariant measure for the environment process on $\Gamma^-$. In the main part of this work we establish the stochastic averaging principle, i.e. we prove that the marginal of $\mu_t^{\varepsilon}$ onto $\Gamma^+$ converges weakly to an evolution of states on $\Gamma^+$ associated with the averaged Markov birth-and-death operator $\overline{L} = \int_{\Gamma^-}L^+(\gamma^-)d \mu_{\mathrm{inv}}(\gamma^-)$.