标题： 分支随机游走水平集的下偏差概率 显示英文标题

标题： Lower deviation probabilities for level sets of the branching random walk

摘要： 给定一个分支随机游走$\{Z_n\}_{n\geq0}$在$\mathbb{R}$上，令$Z_n([y,\infty))$表示在第$n$代位于$[y,\infty)$的粒子数量。 已知从\cite{Biggins1977}可知，在一些温和条件下，$n^{-1}\log Z_n([\theta x^* n,\infty))$几乎处处收敛到$\log m-I(\theta x^*)$，其中$\log m-I(\theta x^*)$是一个正的常数。 在本工作中，我们研究其下偏差，换句话说，即$$\mathbb{P}\left(Z_n([\theta x^* n,\infty))<e^{an}\right),$$的收敛速度，其中$a\in[0,\log m-I(\theta x^*))$。 我们的结果完善了\cite{Mehmet}、\cite{Helower}和\cite{GWlower}中的结果。 显示英文摘要

摘要： Given a branching random walk$\{Z_n\}_{n\geq0}$ on $\mathbb{R}$, let $Z_n([y,\infty))$ be the number of particles located in $[y,\infty)$ at generation $n$. It is known from \cite{Biggins1977} that under some mild conditions, $n^{-1}\log Z_n([\theta x^* n,\infty))$ converges a.s. to $\log m-I(\theta x^*)$, where $\log m-I(\theta x^*)$ is a positive constant. In this work, we investigate its lower deviation, in other words, the convergence rates of $$\mathbb{P}\left(Z_n([\theta x^* n,\infty))<e^{an}\right),$$ where $a\in[0,\log m-I(\theta x^*))$. Our results complete those in \cite{Mehmet}, \cite{Helower} and \cite{GWlower}.