标题： 无坐标指数的通用多向量（MV）在 Cl(p,q) 代数中的表达式，其中 p+q=3 显示英文标题

标题： Coordinate-free exponentials of general multivector (MV) in Cl(p,q) algebras for p+q=3

摘要： 实数Clifford几何代数（GAs）Cl(0,3)、Cl(3,0)、Cl(1,2)和Cl(2,1)中，当指数为最一般的多向量（MV）时，找到了指数函数的闭合形式表达式，这些表达式以无坐标形式给出。 解决问题的主要困难在于向量和双矢量分量之间的纠缠或混合。 在解耦之后，得到的公式简化为已知的Moivre型三角/双曲函数，用于向量或双矢量指数。 所提出的公式可能在求解GA微分方程、信号处理、自动控制和机器人技术中得到广泛应用。 显示英文摘要

摘要： Closed form expressions in a coordinate-free form in real Clifford geometric algebras (GAs) Cl(0,3), Cl(3,0)$, Cl(1,2) and Cl(2,1) are found for exponential function when the exponent is the most general multivector (MV). The main difficulty in solving the problem is connected with an entanglement or mixing of vector and bivector components. After disentanglement, the obtained formulas simplify to the well-known Moivre-type trigonometric/hyperbolic function for vector or bivector exponentials. The presented formulas may find wide application in solving GA differential equations, in signal processing, automatic control and robotics.