标题： 基于香农型不等式的离散化和积定理 显示英文标题

标题： Discretised sum-product theorems by Shannon-type inequalities

摘要： 利用算术信息不等式，我们给出了离散化环定理的一个强有力的定量界。 特别地，我们证明了如果 $A \subset [1,2]$ 是一个 $(\delta,\sigma)$-集，并且 $|A| = \delta^{-\sigma},$，那么 $A+A$ 或 $AA$ 的 $\delta$-覆盖数至少为 $\delta^{-c}|A|$，对于任意的 $0 < c < \min\{\sigma/6, (1-\sigma)/6\}$，只要 $\delta > 0$ 足够小。 显示英文摘要

摘要： By making use of arithmetic information inequalities, we give a strong quantitative bound for the discretised ring theorem. In particular, we show that if $A \subset [1,2]$ is a $(\delta,\sigma)$-set, with $|A| = \delta^{-\sigma},$ then $A+A$ or $AA$ has $\delta$-covering number at least $\delta^{-c}|A|$ for any $0 < c < \min\{\sigma/6, (1-\sigma)/6\}$ provided that $\delta > 0$ is small enough.