标题： 高维和无限维模型中的函数估计 显示英文标题

标题： Functional estimation in high-dimensional and infinite-dimensional models

摘要： 设 ${\mathcal P}$ 是可测空间 $(S,{\mathcal A}).$ 上的一族概率测度，给定一个巴拿赫空间 $E,$，一个泛函 $f:E\mapsto {\mathbb R}$ 和一个映射 $\theta: {\mathcal P}\mapsto E,$，我们的目标是根据独立同分布的 $f(\theta(P))$ 进行估计 观测 $X_1,\dots, X_n\sim P, P\in {\mathcal P}.$ 特别地，如果 ${\mathcal P}=\{P_{\theta}: \theta\in \Theta\}$ 是一个可识别的统计模型，参数集为 $\Theta\subset E,$，可以考虑映射 $\theta(P)=\theta$ 对 $P\in {\mathcal P}, P=P_{\theta},$ 的结果，从而得到基于独立同分布的 $f(\theta)$ 的估计问题 观测 $X_1,\dots, X_n\sim P_{\theta}, \theta\in \Theta.$ 给定一个光滑泛函 $f$ 和 $\theta(P),$ 的估计量 $\hat \theta_n(X_1,\dots, X_n), n\geq 1$ ，我们使用这些估计量、样本分割和 $f(\theta(P))$ 的适当阶数的泰勒展开来构造 $f(\theta(P)).$ 的估计量 $T_f(X_1,\dots, X_n)$ 。对于这些估计量和一个光滑度为 $s\geq 1,$ 的泛函 $f$ ，我们在对基本估计量 $\hat \theta_n.$ 的某些矩假设下，证明了估计量 $T_f(X_1,\dots, X_n)$ 的 $L_p$-误差的上界。我们研究了估计量 $T_f(X_1,\dots, X_n)$ 在几个具体问题中的性能，展示了它们的最小最大最优性和渐近有效性。 特别是，这包括高维模型中许多低维分量的功能估计，高维指数族中的功能估计，以及无限维次高斯模型中协方差算子的功能估计。 显示英文摘要

摘要： Let ${\mathcal P}$ be a family of probability measures on a measurable space $(S,{\mathcal A}).$ Given a Banach space $E,$ a functional $f:E\mapsto {\mathbb R}$ and a mapping $\theta: {\mathcal P}\mapsto E,$ our goal is to estimate $f(\theta(P))$ based on i.i.d. observations $X_1,\dots, X_n\sim P, P\in {\mathcal P}.$ In particular, if ${\mathcal P}=\{P_{\theta}: \theta\in \Theta\}$ is an identifiable statistical model with parameter set $\Theta\subset E,$ one can consider the mapping $\theta(P)=\theta$ for $P\in {\mathcal P}, P=P_{\theta},$ resulting in a problem of estimation of $f(\theta)$ based on i.i.d. observations $X_1,\dots, X_n\sim P_{\theta}, \theta\in \Theta.$ Given a smooth functional $f$ and estimators $\hat \theta_n(X_1,\dots, X_n), n\geq 1$ of $\theta(P),$ we use these estimators, the sample split and the Taylor expansion of $f(\theta(P))$ of a proper order to construct estimators $T_f(X_1,\dots, X_n)$ of $f(\theta(P)).$ For these estimators and for a functional $f$ of smoothness $s\geq 1,$ we prove upper bounds on the $L_p$-errors of estimator $T_f(X_1,\dots, X_n)$ under certain moment assumptions on the base estimators $\hat \theta_n.$ We study the performance of estimators $T_f(X_1,\dots, X_n)$ in several concrete problems, showing their minimax optimality and asymptotic efficiency. In particular, this includes functional estimation in high-dimensional models with many low dimensional components, functional estimation in high-dimensional exponential families and estimation of functionals of covariance operators in infinite-dimensional subgaussian models.