标题： 函数最差风险最小化 显示英文标题

标题： Functional worst risk minimization

摘要： 本文的目的是将最坏情况下的风险最小化，也称为最坏平均损失最小化，推广到函数空间。 这意味着找到一个函数回归表示，该表示基于两个环境的数据对未来分布变化具有鲁棒性。 在经典的非函数空间中，结构方程基于转移矩阵 $B$。 在第~\ref{sec:sfr}节中，我们将其一般化，考虑一个线性算子 $\mathcal{T}$作用于平方可积过程，以代替 $B$的角色。 通过要求 $(I-\mathcal{T})^{-1}$有界——而不是 $\mathcal{T}$无界， 这将允许考虑一大类无界算子。 第~\ref{sec:worstrisk}节考虑了两种不同的情况，这两种情况都导致相同的最坏风险分解。 值得注意的是，这种分解的结构与非函数空间的情况相同。 我们考虑任何能使 $(I-\mathcal{T})^{-1}$ 有界的算子 $\mathcal{T}$，并根据移位的协方差函数定义未来移位集。 在第~\ref{sec:minimizer} 节中，我们证明了在这个平方可积核的空间中，存在最劣风险最小化器的一个充要条件。 此前，这样的最小化器是通过目标和协变量积分算子的未知本征函数来表达的（参见例如 \cite{HeMullerWang} 和 \cite{YaoAOS}）。 这意味着为了估计这个最小化器，必须首先估计这些未知的本征函数。 相比之下，这里提供的解将在任意的 ON-基下表示。 这完全消除了估计本征函数的必要性。 这在第~\ref{sec:estimation} 节得到了回报，在该节中我们提供了一组与大样本界一致的估计量。 所有结果的证明都在附录中给出。 显示英文摘要

摘要： The aim of this paper is to extend worst risk minimization, also called worst average loss minimization, to the functional realm. This means finding a functional regression representation that will be robust to future distribution shifts on the basis of data from two environments. In the classical non-functional realm, structural equations are based on a transfer matrix $B$. In section~\ref{sec:sfr}, we generalize this to consider a linear operator $\mathcal{T}$ on square integrable processes that plays the the part of $B$. By requiring that $(I-\mathcal{T})^{-1}$ is bounded -- as opposed to $\mathcal{T}$ -- this will allow for a large class of unbounded operators to be considered. Section~\ref{sec:worstrisk} considers two separate cases that both lead to the same worst-risk decomposition. Remarkably, this decomposition has the same structure as in the non-functional case. We consider any operator $\mathcal{T}$ that makes $(I-\mathcal{T})^{-1}$ bounded and define the future shift set in terms of the covariance functions of the shifts. In section~\ref{sec:minimizer}, we prove a necessary and sufficient condition for existence of a minimizer to this worst risk in the space of square integrable kernels. Previously, such minimizers were expressed in terms of the unknown eigenfunctions of the target and covariate integral operators (see for instance \cite{HeMullerWang} and \cite{YaoAOS}). This means that in order to estimate the minimizer, one must first estimate these unknown eigenfunctions. In contrast, the solution provided here will be expressed in any arbitrary ON-basis. This completely removes any necessity of estimating eigenfunctions. This pays dividends in section~\ref{sec:estimation}, where we provide a family of estimators, that are consistent with a large sample bound. Proofs of all the results are provided in the appendix.