标题： 关于望远镜Picard群 显示英文标题

标题： On The Telescopic Picard Group

摘要： 我们证明对于任何素数$p$和高度$n \ge 1$，广义Picard群$\mathrm{Pic}(\mathrm{Sp}_{Tn})$包含一个形式为$\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}/a_p(p^n-1)$的子群，其中$a_p = 1$当$p = 2$时成立，并且$a_p = 2$当$p$为奇数时成立。 使用库默理论，我们得到一个$(\mathbb{F}_{p^n}^\times \rtimes \mathbb{Z}/n)$-伽罗瓦扩张的$\mathbb{S}_{T(n)}$，从而得到了在任意正高度和素数下，非交换伽罗瓦扩张从$K(n)$-局部球面到望远镜世界的第一个提升例子。我们的证明通过建立周期性定理的高范畴框架，并利用该框架的对称性来构造佩卡德元。 显示英文摘要

摘要： We prove that for any prime $p$ and height $n \ge 1$, the telescopic Picard group $\mathrm{Pic}(\mathrm{Sp}_{Tn})$ contains a subgroup of the form $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}/a_p(p^n-1)$, where $a_p = 1$ if $p = 2$ and $a_p = 2$ if $p$ is odd. Using Kummer theory, we obtain an $(\mathbb{F}_{p^n}^\times \rtimes \mathbb{Z}/n)$-Galois extension of $\mathbb{S}_{T(n)}$, obtaining the first example of a lift of a non-Abelian Galois extension of the $K(n)$-local sphere to the telescopic world, at arbitrary positive height and prime. Our proof proceeds by setting up a higher categorical framework for the periodicity theorem, utilizing the symmetries of this framework to construct Picard elements.