标题： 阿基米德泽塔函数，奇点与霍奇理论 显示英文标题

标题： Archimedean zeta functions, singularities, and Hodge theory

摘要： 我们利用霍奇理论将全纯函数 $f$ 的阿基米德泽塔函数 $Z_f$ 的极点与奇点的若干不变量联系起来。 首先，我们证明 $Z_f$ 的最大非平凡极点是 $f$ 的最小指数的负值，其阶数由伯恩斯坦–萨托多项式 $b_f(s)$ 对应根的重数决定，从而以一种强有力的方式解决了 Mustaţă–Popa 提出的问题。 这同时推广了 Loeser 关于孤立奇点的结果以及 Kollár–Litchin 关于对数典范阈值的结果，并通过考虑重数改进了它们。 另一方面，我们给出了一个关于$f$的例子，在这个例子中，$b_f(s)$的一个根不是$Z_f$的极点，从而以否定的方式回答了 Loeser 在 1985 年提出的问题。 作为副产品，我们在最小指数的情况下，对 Budur–Walther 提出的问题给出了肯定的回答。 一般地，我们通过研究消失循环上的霍奇过滤来确定$Z_f$的极点，改进了 Barlet 的一个结果。 最后，我们得到了 Kashiwara 和 Malgrange 的$V$滤子、霍奇滤子以及高阶乘子理想解析描述，从而回答了 Mustaţă–Popa 提出的另一个问题。 这些证明主要依赖于 Sabbah–Schnell 意义下复数霍奇模的霍奇过滤最低部分上的极化的一个正性性质。 显示英文摘要

摘要： We use Hodge theory to relate poles of the Archimedean zeta function $Z_f$ of a holomorphic function $f$ with several invariants of singularities. First, we prove that the largest nontrivial pole of $Z_f$ is the negative of the minimal exponent of $f$, whose order is determined by the multiplicity of the corresponding root of the Bernstein--Sato polynomial $b_f(s)$, resolving in a strong sense a question of Musta\c{t}\u{a}--Popa. This simultaneously generalizes a result of Loeser for isolated singularities and of Koll\'ar--Litchin for the log canonical threshold, and improves them by accounting for the multiplicity. On the other hand, we give an example of $f$ where a root of $b_f(s)$ is not a pole of $Z_f$, answering a question of Loeser from 1985 in the negative. As a byproduct, we give a positive answer to a question of Budur--Walther in the case of the minimal exponent. In general, we determine poles of $Z_f$ from the Hodge filtration on vanishing cycles, sharpening a result of Barlet. Finally, we obtain analytic descriptions of the $V$-filtration of Kashiwara and Malgrange, Hodge and higher multiplier ideals, addressing another question of Musta\c{t}\u{a}--Popa. The proofs mainly rely on a positivity property of the polarization on the lowest piece of the Hodge filtration on a complex Hodge module in the sense of Sabbah--Schnell.