标题： 小尺度质量估计对于紧致$C^{2}$流形上的拉普拉斯特征函数 显示英文标题

标题： Small-scale mass estimates for Laplace eigenfunctions on compact $C^{2}$ manifolds with boundary

摘要： 设$\Omega$是一个具有$C^2$边界的$n$维紧致黎曼流形，考虑带有狄利克雷或诺伊曼边界条件的$L^2$归一化特征函数$ - \Delta \phi_{\lambda} = \lambda^2 \phi_\lambda$。 在本文中，我们将众所周知的内部非集中估计扩展到边界。 具体来说，在定理\ref{thm1}中，使用纯粹的平稳局部方法，我们证明对于这样的$\Omega$，可以得出对于{\em 任何} $x_0 \in \overline{\Omega}$ （包括边界点）以及所有$\mu \geq h,$ \begin{equation} \label{nonconbdy} \| \phi_\lambda \|_{B(x_0,\mu)\cap \Omega}^2 = O(\mu). \end{equation} 在定理\ref{thm2}中，我们将 Sogge 的结果\cite{So}扩展到具有光滑边界的流形，并证明了 \begin{equation} \label{SUPBD} \| \phi_\lambda \|_{L^\infty(\Omega)} \leq C \lambda^{\frac{n}{2}} \cdot \sup_{x \in \Omega} \| \phi_{\lambda} \|_{L^2( B(x,\lambda^{-1}) \cap \Omega )}. \end{equation} 最优上界$\| \phi_{\lambda} \|_{L^\infty(\Omega)} = O(\lambda^{\frac{n-1}{2}})$首先由 Grieser 在\cite{Gr}中证明，然后是定理\ref{thm1}和\ref{thm2}的直接结果。 显示英文摘要

摘要： Let $\Omega$ be an $n$-dimensional compact Riemannian manifold with $C^2$ boundary, and consider $L^2$-normalized eigenfunctions $ - \Delta \phi_{\lambda} = \lambda^2 \phi_\lambda$ with Dirichlet or Neumann boundary conditions . In this note, we extend well-known interior nonconcentration bounds up to the boundary. Specifically, in Theorem \ref{thm1} using purely stationary, local methods, we prove that for such $\Omega$, it follows that for {\em any} $x_0 \in \overline{\Omega}$ (including boundary points) and for all $\mu \geq h,$ \begin{equation} \label{nonconbdy} \| \phi_\lambda \|_{B(x_0,\mu)\cap \Omega}^2 = O(\mu). \end{equation} In Theorem \ref{thm2} we extend a result of Sogge \cite{So} to manifolds with smooth boundary and show that \begin{equation} \label{SUPBD} \| \phi_\lambda \|_{L^\infty(\Omega)} \leq C \lambda^{\frac{n}{2}} \cdot \sup_{x \in \Omega} \| \phi_{\lambda} \|_{L^2( B(x,\lambda^{-1}) \cap \Omega )}. \end{equation} The sharp sup bounds $\| \phi_{\lambda} \|_{L^\infty(\Omega)} = O(\lambda^{\frac{n-1}{2}})$ first proved by Grieser in \cite{Gr} are then an immediate consequence of Theorems \ref{thm1} and \ref{thm2}.