标题： 显式谱分析用于通过二次变换表示和魏尔量子化的单位群$\mathbb{U}(d)$及其李代数$\mathfrak{u}(d)$的算子 显示英文标题

标题： Explicit Spectral Analysis for Operators Representing the unitary group $\mathbb{U}(d)$ and its Lie algebra $\mathfrak{u}(d)$ through the Metaplectic Representation and Weyl Quantization

摘要： 在本文中，我们计算并分析由元正则表示 $\mu$ 在单位群 $\mathbb{U}(d)$ 上定义的算子的谱，或由李代数 $\mathfrak{u}(d)$ 的相应诱导表示 $d\mu$ 定义的算子的谱。 结果表明，这两种类型算子的点谱可以用相应矩阵的特征值来表示。 对于每个 $A\in\mathfrak{u}(d)$，已知自伴算子 $H_A=-i d\mu(A)$ 具有二次 Weyl 符号，我们将给出保证其具有离散谱的条件。 在这些条件下，利用组合数学中的一个已知结果，我们证明了$H_A$的特征值的重数（在某些显式平移和标量乘法的意义下）是一个次数为$d-1$的准多项式。 此外，我们证明了计数特征值函数的行为类似于 Ehrhart 多项式。 利用后一结果，我们证明了算子$H_A$的 Weyl 定律。 显示英文摘要

摘要： In this article we compute and analyze the spectrum of operators defined by the metaplectic representation $\mu$ on the unitary group $\mathbb{U}(d)$ or operators defined by the corresponding induced representation $d\mu$ of the Lie algebra $\mathfrak{u}(d)$. It turns out that the point spectrum of both types of operators can be expressed in terms of the eigenvalues of the corresponding matrices. For each $A\in\mathfrak{u}(d)$, it is known that the selfadjoint operator $H_A=-i d\mu(A)$ has a quadratic Weyl symbol and we will give conditions on to guarantee that it has discrete spectrum. Under those conditions, using a known result in combinatorics, we show that the multiplicity of the eigenvalues of $H_A$ is (up to some explicit translation and scalar multiplication) a quasi polynomial of degree $d-1$. Moreover, we show that counting eigenvalues function behaves as an Ehrhart polynomial. Using the latter result, we prove a Weyl's law for the operators $H_A$.