标题： 黎曼积分的绝对性 显示英文标题

标题： Absoluteness of the Riemann integral

摘要： 本文探讨了数学分析背景下的绝对性概念，特别关注在$\mathbb{R}^{n}$上的黎曼积分。 在数学逻辑中，“绝对性”指的是某些陈述在不同数学宇宙中的真值不变性。 利用这一概念，我们研究了在 ZFC 的传递模型之间，$\mathbb{R}^{n}$上的黎曼积分保持绝对性的条件，ZFC 是当前数学通常形式化的标准公理系统。 为此，我们开发了一种基于有限可加测度在布尔代数上的积分框架，并表明经典的黎曼积分是这种广义方法的一个特例。 我们的主要结果证明了在$\mathbb{R}^{n}$中的矩形上的黎曼积分具有绝对性，如下所述：如果$M \subseteq N$是 ZFC 的传递模型，$a, b \in \mathbb{R}^{n} \cap M$，并且$f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$是$M$中的一个有界函数，那么$f$在$M$中是黎曼可积的当且仅当在$N$中存在某个扩展$f$的黎曼可积函数$g \colon [a, b] \to \mathbb{R}$。 在这种情况下，每个模型中计算的积分值是相同的。 此外，函数$g$除了一个测度为零的集合外是唯一的。 显示英文摘要

摘要： This article explores the concept of absoluteness in the context of mathematical analysis, focusing specifically on the Riemann integral on $\mathbb{R}^{n}$. In mathematical logic, "absoluteness" refers to the invariance of the truth value of certain statements in different mathematical universes. Leveraging this idea, we investigate the conditions under which the Riemann integral on $\mathbb{R}^{n}$ remains absolute between transitive models of ZFC, the standard axiomatic system in which current mathematics is usually formalized. To this end, we develop a framework for integration on Boolean algebras with respect to finitely additive measures and show that the classical Riemann integral is a particular case of this generalized approach. Our main result establishes that the Riemann integral over rectangles in $\mathbb{R}^{n}$ is absolute in the following sense: if $M \subseteq N$ are transitive models of ZFC, $a, b \in \mathbb{R}^{n} \cap M$, and $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ is a bounded function in $M$, then $f$ is Riemann integrable in $M$ if, and only if, in $N$ there exists some Riemann integrable function $g \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ extending $f$. In this case, the values of the integrals computed in each model are the same. Furthermore, the function $g$ is unique except for a measure zero set.