标题： 分数时滞微分方程：在宇宙学研究中的应用 显示英文标题

标题： Fractional Time-Delayed differential equations: Applications in Cosmological Studies

摘要： 分数阶微分方程模型可以描述具有记忆效应的过程，提供了一个关于复杂系统的现实视角。 我们研究时滞微分方程，首先讨论一阶和分数阶Caputo时滞微分方程。 我们推导出它们的特征方程，并使用拉普拉斯变换求解。 我们推导了修正的哈勃参数演化方程，其中包含一个粘性项，该粘性项被建模为以时滞哈勃参数为函数，在Eckart理论框架内。 我们利用分数微积分的最后一步方法扩展了这个方程，得到了Caputo时滞分数阶微分方程。 该方程考虑了宇宙流体有限的响应时间，从而形成了一个全面的宇宙行为模型。 然后我们解析地求解了这个方程。 由于解析解的复杂性，我们也提供了数值表示。 我们的解达到了de Sitter平衡点。 此外，我们提出了一些推广。 显示英文摘要

摘要： Fractional differential equations model processes with memory effects, providing a realistic perspective on complex systems. We examine time-delayed differential equations, discussing first-order and fractional Caputo time-delayed differential equations. We derive their characteristic equations and solve them using the Laplace transform. We derive a modified evolution equation for the Hubble parameter incorporating a viscosity term modeled as a function of the delayed Hubble parameter within Eckart's theory. We extend this equation using the last-step method of fractional calculus, resulting in Caputo's time-delayed fractional differential equation. This equation accounts for the finite response times of cosmic fluids, resulting in a comprehensive model of the Universe's behavior. We then solve this equation analytically. Due to the complexity of the analytical solution, we also provide a numerical representation. Our solution reaches the de Sitter equilibrium point. Additionally, we present some generalizations.