标题： 二维周期洛伦兹气体中运动输运方程收敛到平衡态 显示英文标题

标题： Convergence to the equilibrium for the kinetic transport equation in the two-dimensional periodic Lorentz Gas

摘要： 我们考虑二维周期性洛伦兹气体的博尔兹曼-格拉德极限。 已经证明在[6,14,4]中，概率密度在$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}^1\ni(x,v)$上的时间演化是通过将相空间$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}^1$扩展到$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}^1\times[0,+\infty)\times[-1,1]$来获得的，在这里$s\in[0,+\infty)$表示下次碰撞的时间，$h\in[-1,1]$表示相应的入射参数。 这里我们证明，在适当的条件下，初始数据在$L^p(\mathbb{T}^2\times\mathbb{T}^1\times[0,+\infty)\times[-1,1])$中的时间演化以$L^p$范数（如果$p=\infty$，则为$^*$弱）收敛到平衡状态。如果$p=2$，或者初始数据不依赖于$x$，我们还可以得到更精确的关于接近平衡状态速率的估计。我们的证明基于解的傅里叶系数长时间行为的分析。 显示英文摘要

摘要： We consider the Boltzmann-Grad limit of the two-dimensional periodic Lorentz Gas. It has been proved in [6,14,4] that the time evolution of a probability density on $\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}^1\ni(x,v)$ is obtained by extending the phase space $\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}^1$ to $\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}^1\times[0,+\infty)\times[-1,1]$, where $s\in[0,+\infty)$ represents the time to the next collision and $h\in[-1,1]$ the corresponding impact parameter. Here we prove that under suitable conditions the time evolution of an initial datum in $L^p(\mathbb{T}^2\times\mathbb{T}^1\times[0,+\infty)\times[-1,1])$ converges to the equilibrium state with respect to the $L^p$ norm ($^*$-weakly if $p=\infty$). If $p=2$, or if the initial datum does not depend on $x$, we also get more precise estimates about the rate of the approach to the equilibrium. Our proof is based on the analysis of the long time behavior of the Fourier coefficients of the solution.