标题： Kato-Kuzumaki 对于高阶局部域上的函数域的性质 显示英文标题

标题： Kato-Kuzumaki's properties for function fields over higher local fields

摘要： 设 $k$ 是一个 $d$-局部域，使得相应的 $1$-局部域 $k^{(d-1)}$ 是一个 $p$-进域且 $C$是 $k$上的曲线。 设$K$为$C$的函数域。 我们证明对于每个$n,m \in \mathbf{N}$，以及 $\mathbf{P}^n_K$ 的超曲面 $Z$，其次数为 $m$ 且满足 $m^{d+1} \leq n$，第 $(d+1)$ 个 Milnor $\mathrm{K}$-理论群由有限扩张 $L$ 的范数图像生成，这些扩张 $K$ 满足 $Z$ 具有一个 $L$-点。 设$j \in \{1,\cdots , d\}$。 当 $C$在某个扩展 $l/k$中有一个点，该点对于每个 $i \in \{1, \cdots, d-j\}$都不是 $i$-分歧的，我们将这个结果推广到 $\mathbf{P}_K^n$的超曲面 $Z$，其次数为 $m$，使得 $m^{j+1} \leq n$。 \par 为了证明这些结果，我们给出了Tate-Shafarevich群$\Sha^{d+2}(K,\mathbf{Q}/\mathbf{Z}(d+1))$的描述，这是根据曲线$C$某些模型的特殊纤维的组合学来定义的。 显示英文摘要

摘要： Let $k$ be a $d$-local field such that the corresponding $1$-local field $k^{(d-1)}$ is a $p$-adic field and $C$ a curve over $k$. Let $K$ be the function field of $C$. We prove that for each $n,m \in \mathbf{N}$, and hypersurface $Z$ of $\mathbf{P}^n_K$ with degree $m$ such that $m^{d+1} \leq n$, the $(d+1)$-th Milnor $\mathrm{K}$-theory group is generated by the images norms of finite extension $L$ of $K$ such that $Z$ admits an $L$-point. Let $j \in \{1,\cdots , d\}$. When $C$ admits a point in an extension $l/k$ that is not $i$-ramified for every $i \in \{1, \cdots, d-j\}$ we generalise this result to hypersurfaces $Z$ of $\mathbf{P}_K^n$ with degree $m$ such that $m^{j+1} \leq n$. \par In order to prove these results we give a description of the Tate-Shafarevich group $\Sha^{d+2}(K,\mathbf{Q}/\mathbf{Z}(d+1))$ in terms of the combinatorics of the special fibre of certain models of the curve $C$.