标题： 双曲平面上的缩减随机游走$\hspace{1pt}!\hspace{-3.8pt}?$ 显示英文标题

标题： Reduced Random Walks in the Hyperbolic Plane$\hspace{1pt}!\hspace{-3.8pt}?$

摘要： 我们研究了Lam在双曲三角群中的简化随机游走，将其视为上半平面中的随机游走。 我们证明这个游走几乎必然收敛到扩展实线上的一点。 我们特别关注于在 $PGL_2(\mathbb{Z})$ 中的简化随机游走（即 $(2,3,\infty)$ 三角群）。 在这种情况下，我们给出了极限分布函数的一个显式公式。 该公式用一种新的函数 $!\hspace{-3.8pt}?\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ 表达，这种函数称为惊叹号函数，它与闵可夫斯基问号函数有许多显著的解析和算术性质。 显示英文摘要

摘要： We study Lam's reduced random walk in a hyperbolic triangle group, which we view as a random walk in the upper half-plane. We prove that this walk converges almost surely to a point on the extended real line. We devote special attention to the reduced random walk in $PGL_2(\mathbb{Z})$ (i.e., the $(2,3,\infty)$ triangle group). In this case, we provide an explicit formula for the cumulative distribution function of the limit. This formula is written in terms of the interrobang function, a new function $!\hspace{-3.8pt}?\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ that shares several of the remarkable analytic and arithmetic properties of Minkowski's question-mark function.