标题： 有限循环半群中幂等和子序列的枚举及光滑序列 显示英文标题

标题： Enumeration of idempotent-sum subsequences in finite cyclic semigroups and smooth sequences

摘要： 零和子序列的枚举是有限循环群中的一个经典问题，它始于P. 埃尔德什的一个问题。 本文中，我们在更一般的框架下考虑这个问题——有限循环半群。 设 $\mathcal{S}$ 是一个有限循环半群。 我们用 $\textbf{e}$ 表示该半群中的唯一幂等元 $\mathcal{S}$。 设$T$是半群$\mathcal{S}$上的一个序列，令$N(T; \textbf{e})$是$T$的不同子序列的数量，这些子序列的和等于幂等元$\textbf{e}$。 我们得到了关于$T$长度的$N(T; \textbf{e})$的下界，并且进一步证明了如果$N(T; \textbf{e})$不是很大，则$T$包含具有某些光滑结构的子序列。 我们的结果将 W. Gao [离散数学，1994] 关于有限循环群上零和子序列计数的定理推广到了半群的情形。 显示英文摘要

摘要： The enumeration of zero-sum subsequences of a given sequence over finite cyclic groups is one classical topic, which starts from one question of P. Erd\H{o}s. In this paper, we consider this problem in a more general setting -- finite cyclic semigroups. Let $\mathcal{S}$ be a finite cyclic semigroup. By $\textbf{e}$ we denote the unique idempotent of the semigroup $\mathcal{S}$. Let $T$ be a sequence over the semigroup $\mathcal{S}$, and let $N(T; \textbf{e})$ be the number of distinct subsequences of $T$ with sum being the idempotent $\textbf{e}$. We obtain the lower bound for $N(T; \textbf{e})$ in terms of the length of $T$, and moreover, prove that $T$ contains subsequences with some smooth-structure in case that $N(T; \textbf{e})$ is not large. Our result generalizes the theorem obtained by W. Gao [Discrete Math., 1994] on the enumeration of zero-sum subsequences over finite cyclic groups to the setting of semigroups.