数学物理
[提交于 2025年5月1日
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标题: 二维 Benjamin-Ono 方程中的轴对称塌陷
标题: Axially symmetric collapses in the 2-D Benjamin-Ono equation
摘要: 我们研究了在本质上二维的Benjamin-Ono方程(2D-BO)框架内局部位移的非线性动力学,该方程是从纳维-斯托克斯方程渐近推导出来的。通过使用拟谱方法模拟2D-BO方程,我们确认超过某一阈值的局部位移初始扰动会塌陷,形成一个点奇异性。 尽管2D-BO方程不具备轴对称性,我们证明在塌陷奇异性附近,无论其初始形状如何,解都变得轴对称。 我们发现扰动以自相似的方式塌陷,扰动振幅爆炸性地增长为$ (\check \tau)^{-\lambda}$,其横向尺度缩小为$ (\check \tau)^{\lambda}$,其中$\check \tau$是到奇异性时刻的时间。 我们推导了一组描述轴对称塌陷的自相似解。 自相似解中的自由参数$ {\lambda}$的值通过将其拟合到初始问题的数值模拟中,即演化开始时局部位移的演变问题中来确定。 值得注意的是,对于所考察的例子,该参数的值几乎具有普遍性:$ {\lambda} \approx 0.9$;它的变化与初始条件无关。 在奇异性附近,动力学变成一维,因此,从2D-BO方程得出的简化提供了一个有效的塌陷一维模型。
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