标题： 迹 von Neumann 代数包含的局部量化原理 显示英文标题

标题： A local quantization principle for inclusions of tracial von Neumann algebras

摘要： 我们研究了迹 von Neumann 代数包含的局部量化原理（在 Sorin Popa~\cite{popa 94}和\cite{popa 95}之后）。设$(\mathcal{M},\tau)$是一个类型${\rm II}_1$的 von Neumann 代数，设$\mathcal{N}\subseteq \mathcal{M}$是一个类型${\rm II}_1$的 von Neumann 子代数。 设 $x_1,\ldots, x_m \in \mathcal{M}$ 和 $ \epsilon> 0$。 然后存在一个1的划分，其投影为$p_{1}, \ldots, p_{n}$在$\mathcal{N}$中，使得\[\left\|\sum_{i=1}^n p_{i}\left(x_j-E_{\mathcal{N}'\cap \mathcal{M}}(x_j)\right)p_{i}\right\|_{2}<\epsilon,\quad 1\leq j\leq m.\]特别地，如果$\N\subseteq \M$是一个类型为$\rm II_{1}$的因子的包含关系且$[\M:\N]=2$，那么对于任何$x_{1},\ldots, x_{m}\in \M$，存在一个1的划分，其投影为$p_{1}, \ldots, p_{n}$在$\mathcal{N}$中，使得\[\sum_{i=1}^n p_ix_jp_i=\tau(x_j)1, \quad 1\leq j\leq m.\]等价地，存在一个酉算子$u\in \N$使得\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nu^{*i}x_j u^i=\tau(x_j)1, \quad 1\leq j\leq m.\] 显示英文摘要

摘要： We study the local quantization principle (after Sorin Popa~\cite{popa 94} and \cite{popa 95}) of inclusions of tracial von Neumann algebras. Let $(\mathcal{M},\tau)$ be a type ${\rm II}_1$ von Neumann algebra and let $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{M}$ be a type ${\rm II}_1$ von Neumann subalgebra. Let $x_1,\ldots, x_m \in \mathcal{M}$ and $ \epsilon> 0$. Then there exists a partition of 1 with projections $p_{1}, \ldots, p_{n}$ in $\mathcal{N}$ such that \[\left\|\sum_{i=1}^n p_{i}\left(x_j-E_{\mathcal{N}'\cap \mathcal{M}}(x_j)\right)p_{i}\right\|_{2}<\epsilon,\quad 1\leq j\leq m.\] In particular, if $\N\subseteq \M$ is an inclusion of type $\rm II_{1}$ factors with $[\M:\N]=2$, then for any $x_{1},\ldots, x_{m}\in \M$, there exists a partition of 1 with projections $p_{1}, \ldots, p_{n}$ in $\mathcal{N}$ such that \[\sum_{i=1}^n p_ix_jp_i=\tau(x_j)1, \quad 1\leq j\leq m.\] Equivalently, there exists a unitary operator $u\in \N$ such that \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nu^{*i}x_j u^i=\tau(x_j)1, \quad 1\leq j\leq m.\]