标题： Gorenstein投射对象在分裂扩张上 显示英文标题

标题： Gorenstein projective objects over cleft extensions

摘要： 在本文中，我们引入了阿贝尔范畴的相容裂扩张，并证明如果$(\mathcal{B},\mathcal{A}, e,i,l)$是一个相容裂扩张，那么函子$l$和$i$的左伴随保持Gorenstein投射对象。 此外，我们给出了$\mathcal{A}$中一个对象为Gorenstein投射的一些必要条件，并表明在某些特殊情况下，这些必要条件也是充分的。 作为应用，我们统一了一些关于三角矩阵环、具有零同态的Morita上下文环和$\theta$-扩张上Gorenstein投射模描述的已知结果。 显示英文摘要

摘要： In this paper we introduce compatible cleft extensions of abelian categories, and we prove that if $(\mathcal{B},\mathcal{A}, e,i,l)$ is a compatible cleft extension, then both the functor $l$ and the left adjoint of $i$ preserve Gorenstein projective objects. Moreover, we give some necessary conditions for an object of $\mathcal{A}$ to be Gorenstein projective, and we show that these necessary conditions are also sufficient in some special case. As applications, we unify some known results on the description of Gorenstein projective modules over triangular matrix rings, Morita context rings with zero homomorphisms and $\theta$-extensions.