标题： 关于三度有向$m$-半正则表示的有限群 显示英文标题

标题： On oriented $m$-semiregular representations of finite groups about valency three

摘要： 设$G$是一个群，$m$是一个正整数。 我们说一个$m$-Cayley有向图$\Gamma$在$G$上是一个有向图，它有一个与$G$同构的自同构群，在顶点集上半正则作用，并且有$m$个轨道。 有向图$\Sigma$是$k$-正则的，如果存在一个非负整数$k$，使得每个顶点的出度和入度都等于$k$。 本文中考虑的所有有向图都是正则的。 我们说 $G$ 允许一个定向的 $m$-半正则表示（简称为OmSR），如果存在一个正则的 $m$-Cayley有向图 $\Gamma$ 在 $G$ 上，使得 $\Gamma$ 是定向的，并且其自同构群与 $G$ 同构。 特别地，一个O1SR被称为一个ORR。 夏等 \cite{x2}提供了具有2度ORR的有限单群的分类。 此外，在2022年，Du等人。 \cite{du2}证明了大多数有限单群对于$m \geq 2$具有2度的OmSR，除了少数特殊情况。 在本文中，我们分类了由最多两个元素生成的具有3度OmSR的有限群对于$m \geq 2$。 显示英文摘要

摘要： Let $G$ be a group and $m$ a positive integer. We say an $m$-Cayley digraph $\Gamma$ over $G$ is a digraph that admits a group of automorphisms isomorphic to $G$ acting semiregularly on the vertex set with $m$ orbits. The digraph $\Sigma$ is $k$-regular if there exists a non-negative integer $k$ such that every vertex has out-valency and in-valency equal to $k$. All digraphs considered in this paper are regular. We say that $G$ admits an oriented $m$-semiregular representation (abbreviated as OmSR) if there exists a regular $m$-Cayley digraph $\Gamma$ over $G$ such that $\Gamma$ is oriented and its automorphism group is isomorphic to $G$. In particular, an O1SR is called an ORR. Xia et al. \cite{x2} provided a classification of finite simple groups admitting an ORR of valency 2. Furthermore, in 2022, Du et al. \cite{du2} proved that most finite simple groups admit an OmSR of valency 2 for $m \geq 2$, except for a few exceptional cases. In this paper, we classify the finite groups generated by at most two elements that admit an OmSR of valency 3 for $m \geq 2$.