标题： 对称幂 of $S^{(n-1,1)}$ and $D^{(n-1,1)}$ 显示英文标题

标题： Symmetric powers of $S^{(n-1,1)}$ and $D^{(n-1,1)}$

摘要： 设$p$为一个素数，$n\geq 2$为一个正整数。 我们建立了特征为$p$的第一个$p-1$个对称幂的 Specht 模块$S^{(n-1,1)}$和不可约模$D^{(n-1,1)}$的分解的新公式，这些分解是 Young 排列模的直和。 作为公式的应用，我们证明了这些对称幂具有 Specht 分层，并找到了它们不可分解和式的顶点。 我们主要的工具是在本文中构建的，它是将某些对称幂的短正合序列的分裂映射提升为更高对称幂的短正合序列的分裂映射。 这是一个通用的构造，可以应用于更广泛的模族。 显示英文摘要

摘要： Let $p$ be a prime and $n\geq 2$ be a positive integer. We establish new formulae for the decompositions of the first $p-1$ symmetric powers of the Specht module $S^{(n-1,1)}$ and the irreducible module $D^{(n-1,1)}$ in characteristic $p$ as direct sums of Young permutation modules. As an application of the formulae, we show that these symmetric powers have Specht filtration and find the vertices of their indecomposable summands. Our main tool, constructed in this paper, is a lift of a splitting map of a short exact sequence of certain symmetric powers to a splitting map of a short exact sequence of higher symmetric powers. This is a general construction, which can be applied to a broader family of modules.