标题： 无限多项式环上的对称模 I：幂零商 显示英文标题

标题： Symmetric modules over the infinite polynomial ring I: nilpotent quotients

摘要： 科恩证明了无限变量多项式环$R=k[x_1,x_2,\ldots]$在无限对称群$\mathfrak{S}$的作用下是诺特环。 前两位作者开始了一个项目，以详细理解$\mathfrak{S}$-等变的$R$代数。 在之前的工作中，他们分类了$\mathfrak{S}$-素理想 of$R$。 一个重要的$\mathfrak{S}$-素理想的例子是由变量的$(s+1)$次幂生成的理想$\mathfrak{h}_s$。在本文中，我们研究了$R/\mathfrak{h}_s$-模的范畴。我们得到了一些结果，并在这里仅提及三个：(a) 我们确定了该范畴的格罗滕迪克群；(b) 我们证明了克鲁尔-加布里埃尔维数为$s$；以及(c) 我们获得了导出范畴的生成元。本文将在后续工作中起到关键作用，其中我们将研究一般的模。 显示英文摘要

摘要： Cohen proved that the infinite variable polynomial ring $R=k[x_1,x_2,\ldots]$ is noetherian with respect to the action of the infinite symmetric group $\mathfrak{S}$. The first two authors began a program to understand the $\mathfrak{S}$-equivariant algebra of $R$ in detail. In previous work, they classified the $\mathfrak{S}$-prime ideals of $R$. An important example of an $\mathfrak{S}$-prime is the ideal $\mathfrak{h}_s$ generated by $(s+1)$st powers of the variables. In this paper, we study the category of $R/\mathfrak{h}_s$-modules. We obtain a number of results, and mention just three here: (a) we determine the Grothendieck group of the category; (b) we show that the Krull--Gabriel dimension is $s$; and (c) we obtain generators for the derived category. This paper will play a key role in subsequent work where we study general modules.