标题： Frobenius的自复合在实数次数下，以及围绕Weil的黎曼假设的一些猜想 显示英文标题

标题： Self-composition of Frobenius a real number of times, and some conjectures around Weil's Riemann hypothesis

摘要： 设$X$是在有限域$\mathbb{F}_q$上定义的光滑射影簇。 在$X$上存在一个特殊的态射$Fr_X$，它将坐标提升到指数$q$：$t\mapsto t^q$。 本文的两个主要结果是： 结果 1：如果标准猜想 D 在$X\times X$上成立，那么$X$上的所有极化自同态都是半单的。 结果 2：作为$X$的自同态，我们可以将$Fr_X$与\textbf{正整数}相乘多次，例如$Fr_X^2=Fr_X\circ Fr_X$， $Fr_X^3=Fr_X\circ Fr_X\circ Fr_X$。 在上同调层面上，我们可以为所有整数$s$定义$(Fr_X^*)^s$。如果我们能以一种好的方式（稍后将明确）为所有\textbf{实数} $s$ 定义$(Fr_X^*)^s$，会怎样呢？本简短的笔记提出了一种方法，用于所谓的动态次数比较猜想和范数比较猜想（允许通过代数循环上的增长来界定自同态在上同调群上的迭代拉回的增长），针对支配有理映射以及更一般的动态对应关系，这是由 Fei Hu 和作者之前提出的，通过这种可能性。主要观点是通过一个启发式论证来表明，所述猜想应从标准猜想 D 推出。如果我们将$Fr_X$替换为另一个在$X$上的极化自同态，所有这些讨论也成立。 显示英文摘要

摘要： Let $X$ be a smooth projective variety defined on a finite field $\mathbb{F}_q$. On $X$ there is a special morphism $Fr_X$, which raises coordinates to exponent $q$: $t\mapsto t^q$. The two main results in this paper are: Result 1: If Standard conjecture D holds on $X\times X$, then all polarised endomorphisms on $X$ are semisimple. Result 2: Being an endomorphism of $X$, we can compose $Fr_X$ a \textbf{positive integer} of times, for example $Fr_X^2=Fr_X\circ Fr_X$, $Fr_X^3=Fr_X\circ Fr_X\circ Fr_X$. On the cohomological level, we can define $(Fr_X^*)^s$ for all integers $s$. What if we can define $(Fr_X^*)^s$ for all \textbf{real numbers} $s$, in a good way (to be made precise later)? This short note presents an approach towards so-called Dynamical degree comparison conjecture and Norm comparison conjecture (allowing to bound the growth of the pullback of iterations of an endomorphism on cohomology groups in terms of that on algebraic cycles), for dominant rational maps and more generally dynamical correspondences, proposed previously by Fei Hu and the author, via such a possibility. The main upshot is a heuristic argument to show that the mentioned conjectures should follow from Standard conjecture D. All this discussion also holds if we replace $Fr_X$ by another polarised endomorphism on $X$.