标题： Frobenius的自复合在实数次数下，以及围绕Weil的黎曼假设的一些猜想 显示英文标题

标题： Self-composition of Frobenius a real number of times, and some conjectures around Weil's Riemann hypothesis

摘要： 设$X$是在有限域$\mathbb{F}_q$上定义的光滑射影簇。 在$X$上有一个特殊的态射$Fr_X$，它将坐标提升到指数$q$：$t\mapsto t^q$。 作为$X$的自同态，我们可以将$Fr_X$与\textbf{正整数}多次复合，例如$Fr_X^2=Fr_X\circ Fr_X$，$Fr_X^3=Fr_X\circ Fr_X\circ Fr_X$。 在上同调层面，我们可以为所有整数$s$定义$(Fr_X^*)^s$。 如果我们能以一种好的方式（稍后将具体说明）为所有\textbf{实数} $s$ 定义$(Fr_X^*)^s$呢？ 这篇简短的笔记提出了一种方法，以解决所谓的动力学次数比较猜想和范数比较猜想（允许通过代数循环上的增长来界定自同态在上同调群上的迭代拉回的增长），针对主导有理映射以及更一般的动力对应关系，这是由 Fei Hu 和作者之前提出的，通过这种可能性。 主要观点是一个启发式的论证，用以说明上述猜想应该可以从标准猜想中得出。 所有这些讨论如果我们将$Fr_X$替换为$X$上的另一个极化自同态，也同样成立。 显示英文摘要

摘要： Let $X$ be a smooth projective variety defined on a finite field $\mathbb{F}_q$. On $X$ there is a special morphism $Fr_X$, which raises coordinates to exponent $q$: $t\mapsto t^q$. Being an endomorphism of $X$, we can compose $Fr_X$ a \textbf{positive integer} of times, for example $Fr_X^2=Fr_X\circ Fr_X$, $Fr_X^3=Fr_X\circ Fr_X\circ Fr_X$. On the cohomological level, we can define $(Fr_X^*)^s$ for all integers $s$. What if we can define $(Fr_X^*)^s$ for all \textbf{real numbers} $s$, in a good way (to be made precise later)? This short note presents an approach towards so-called Dynamical degree comparison conjecture and Norm comparison conjecture (allowing to bound the growth of the pullback of iterations of an endomorphism on cohomology groups in terms of that on algebraic cycles), for dominant rational maps and more generally dynamical correspondences, proposed previously by Fei Hu and the author, via such a possibility. The main upshot is a heuristic argument to show that the mentioned conjectures should follow from the Standard conjectures. All this discussion also holds if we replace $Fr_X$ by another polarised endomorphism on $X$.