标题： 四元数酉群的强双重可逆对 signature$(n,1)$ 显示英文标题

标题： Strongly Doubly Reversibile Pairs in Quaternionic Unitary Group of Signature $(n,1)$

摘要： 设$\PSp(n,1)$表示四元数双曲空间$\h^n$的等距群 在$\PSp(n,1)$中的一对元素$(g_1,g_2)$被称为\emph{强双重可逆}，如果$(g_1,g_2)$和$(g_1^{-1},g_2^{-1})$属于$\PSp(n,1)$的同一同时共轭轨道，并且可以选择一个阶为二的共轭元素。 等价地，存在对合 $i_1,i_2,i_3 \in \PSp(n,1)$ 使得 $g_1 = i_1 i_2,~ g_2 = i_1 i_3$。 我们证明这样的对的集合在 $\PSp(n,1) \times \PSp(n,1)$ 中具有勒贝格测度零。 对于 $\PSp(n) \times \PSp(n)$ 和 $n\geq 2$，同样的结果也成立。 在特殊情况下 $n=1$，我们证明 $\PSp(1)$ 中的每一对元素都是强双重可逆的。 使用初等四元数分析对于$\Sp(1)$，我们还提供了 Basmajian 和 Maskit 在 Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), no. 9, 5015--5033 中的一个定理的非常简短的证明，该定理指出，${\rm SO}(4)$中的每一对元素都是强双重可逆的。此外，我们推导了在$\PSp(1,1)$中，双曲元素的一对强双重可逆的必要条件。 显示英文摘要

摘要： Let $\PSp(n,1)$ denote the isometry group of quaternionic hyperbolic space $\h^n$. A pair of elements $(g_1,g_2)$ in $\PSp(n,1)$ is said to be \emph{strongly doubly reversible} if $(g_1,g_2)$ and $(g_1^{-1},g_2^{-1})$ belong to the same simultaneous conjugation orbit of $\PSp(n,1)$, and a conjugating element can be chosen to have order two. Equivalently, there exist involutions $i_1,i_2,i_3 \in \PSp(n,1)$ such that $g_1 = i_1 i_2,~ g_2 = i_1 i_3$. We prove that the set of such pairs has Haar measure zero in $\PSp(n,1) \times \PSp(n,1)$. The same result also holds for $\PSp(n) \times \PSp(n)$ for $n\geq 2$. In the special case $n=1$, we show that every pair of elements in $\PSp(1)$ is strongly doubly reversible. Using elementary quaternionic analysis for $\Sp(1)$, we also provide a very short proof of a theorem of Basmajian and Maskit, in Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), no. 9, 5015--5033, which states that every pair of elements in ${\rm SO}(4)$ is strongly doubly reversible. Furthermore, we derive necessary conditions under which a pair of hyperbolic elements is strongly doubly reversible in $\PSp(1,1)$.