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统计学 > 机器学习

arXiv:2510.15012 (stat)
[提交于 2025年10月16日 ]

标题: 从通用逼近定理到多层感知机的热带几何

标题: From Universal Approximation Theorem to Tropical Geometry of Multi-Layer Perceptrons

Authors:Yi-Shan Chu, Yueh-Cheng Kuo
摘要: 我们通过神经网络的热带几何视角重新审视通用逼近定理(UAT),并为sigmoid多层感知器(MLP)引入一种构造性、几何感知的初始化方法。 热带几何表明,修正线性单元(ReLU)网络的决策函数具有通常描述为热带有理式的组合结构,即热带多项式的差。 专注于平面二分类,我们设计了纯粹的sigmoid MLP,它们遵循UAT的有限和格式:仿射函数的平移和缩放sigmoid的有限线性组合。 这些模型产生的决策边界在初始化时就已经与预定形状对齐,如果需要的话可以通过标准训练进行优化。 这提供了一种将热带视角与平滑MLP之间联系起来的实用桥梁,无需使用ReLU架构即可实现可解释的、形状驱动的初始化。 我们专注于二维空间中的构造和经验演示;理论分析和高维扩展留作未来的工作。
摘要: We revisit the Universal Approximation Theorem(UAT) through the lens of the tropical geometry of neural networks and introduce a constructive, geometry-aware initialization for sigmoidal multi-layer perceptrons (MLPs). Tropical geometry shows that Rectified Linear Unit (ReLU) networks admit decision functions with a combinatorial structure often described as a tropical rational, namely a difference of tropical polynomials. Focusing on planar binary classification, we design purely sigmoidal MLPs that adhere to the finite-sum format of UAT: a finite linear combination of shifted and scaled sigmoids of affine functions. The resulting models yield decision boundaries that already align with prescribed shapes at initialization and can be refined by standard training if desired. This provides a practical bridge between the tropical perspective and smooth MLPs, enabling interpretable, shape-driven initialization without resorting to ReLU architectures. We focus on the construction and empirical demonstrations in two dimensions; theoretical analysis and higher-dimensional extensions are left for future work.
主题: 机器学习 (stat.ML) ; 人工智能 (cs.AI); 机器学习 (cs.LG)
引用方式: arXiv:2510.15012 [stat.ML]
  (或者 arXiv:2510.15012v1 [stat.ML] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2510.15012
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI(待注册)

提交历史

来自: Yi-Shan Chu [查看电子邮件]
[v1] 星期四, 2025 年 10 月 16 日 13:15:39 UTC (33,440 KB)
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