标题： 非交换特征多项式和科恩局部化 显示英文标题

标题： Non-commutative Characteristic Polynomials and Cohn Localization

摘要： 阿尔姆奎维斯特证明了，对于交换环 A，一个有限生成投射 A 模 P 到自身的自同态\alpha :P\to P 的特征多项式决定了 (P,\alpha ) 除扩张外的唯一性。 对于非交换环 A，一个有限生成投射 A 模 P 到自身的自同态\alpha : P\to P 的广义特征多项式定义为怀特海 torsion [1-x\alpha ]\in K_1(A[[x]]), 这是一个常数项为 1 的形式幂级数的等价类。 在本文中给出一个非交换环 A 和自同态\alpha :P\to P 的例子，其中广义特征多项式不能确定 (P,\alpha ) 在扩展意义上的唯一性。 该现象可以追溯到自然映射\Sigma ^{-1}A[x] \to A[[x]] 的非单射性，其中\Sigma ^{-1}A[x] 是 A[x] 在使集合\Sigma 中的矩阵变为可逆矩阵的 A[x] \to A; x \mapsto 0 的 Cohn 局部化。 显示英文摘要

摘要： Almkvist proved that for a commutative ring A the characteristic polynomial of an endomorphism \alpha:P \to P of a finitely generated projective A-module determines (P,\alpha) up to extensions. For a non-commutative ring A the generalized characteristic polynomial of an endomophism \alpha : P \to P of a finitely generated projective A-module is defined to be the Whitehead torsion [1-x\alpha] \in K_1(A[[x]]), which is an equivalence class of formal power series with constant coefficient 1. In this paper an example is given of a non-commutative ring A and an endomorphism \alpha:P \to P for which the generalized characteristic polynomial does not determine (P,\alpha) up to extensions. The phenomenon is traced back to the non-injectivity of the natural map \Sigma^{-1}A[x] \to A[[x]], where \Sigma^{-1}A[x] is the Cohn localization of A[x] inverting the set \Sigma of matrices in A[x] sent to an invertible matrix by A[x] \to A; x \mapsto 0.