标题： 阻塞集与具有有限素因子数的整数的幂剩余 显示英文标题

标题： Blocking Sets and Power Residue Modulo Integers with Bounded Number of Prime Factors

摘要： 设$q$为一个奇素数，$k$为一个自然数。 我们证明，一个不包含任何完全 $q^{th}$ 次幂的整数有限子集 $S$，在几乎每个自然数 $N$ 上包含一个 $q^{th}$ 次幂剩余，该自然数最多有 $k$ 个素因子，当且仅当 $S$ 对应于 $\PG(\mathbb{F}_{q}^{n})$ 的一个 $k$-阻塞集。 这里，$n$是整除$q$-自由部分的元素$S$的不同素数的个数。 因此，这种几何联系使我们能够利用伽罗瓦几何的方法来推导这类集合$S$的基数的下界，并完全描述具有最小和第二小基数的这类$S$。 此外，有限整数子集是否包含模几乎每个整数 $N$ 的 $q^{th}$ 次幂剩余，且该整数最多有 $k$ 个素因子，这一性质在射影一般线性群 $\mathrm{PGL}(n, q)$ 的作用下是不变的。 显示英文摘要

摘要： Let $q$ be an odd prime and $k$ be a natural number. We show that a finite subset of integers $S$ that does not contain any perfect $q^{th}$ power, contains a $q^{th}$ power residue modulo almost every natural numbers $N$ with at most $k$ prime factors if and only if $S$ corresponds to a $k$-blocking set of $\PG(\mathbb{F}_{q}^{n})$. Here, $n$ is the number of distinct primes that divides the $q$-free parts of elements of $S$. Consequently, this geometric connection enables us to utilize methods from Galois geometry to derive lower bounds for the cardinalities of such sets $S$ and to completely characterize such $S$ of the smallest and the second smallest cardinalities. Furthermore, the property of whether a finite subset of integers contains a $q^{th}$ power residue modulo almost every integer $N$ with at most $k$ prime factors is invariant under the action of projective general linear group $\mathrm{PGL}(n, q)$.