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数学 > 经典分析与常微分方程

arXiv:0704.1972 (math)
[提交于 2007年4月16日 ]

标题: 单位随机矩阵系综中的临界边行为和第三十四 Painleve 超越

标题: Critical edge behavior in unitary random matrix ensembles and the thirty fourth Painleve transcendent

Authors:A.R. Its, A.B.J. Kuijlaars, J. Ostensson
摘要: We describe a new universality class for unitary invariant random matrix ensembles. It arises in the double scaling limit of ensembles of random $n \times n$ Hermitian matrices $Z_{n,N}^{-1} |\det M|^{2\alpha} e^{-N \Tr V(M)} dM$ with $\alpha > -1/2$, where the factor $|\det M|^{2\alpha}$ induces critical eigenvalue behavior near the origin. Under the assumption that the limiting mean eigenvalue density associated with $V$ is regular, and that the origin is a right endpoint of its support, we compute the limiting eigenvalue correlation kernel in the double scaling limit as $n, N \to \infty$ such that $n^{2/3}(n/N-1) = O(1)$. 我们使用Deift-Zhou最陡下降法来处理线上的多项式关于权函数$|x|^{2\alpha} e^{-NV(x)}$的Riemann-Hilbert问题。我们的主要关注点是通过与Painleve XXXIV方程的一个特殊解相关的$\psi$函数,在原点附近构造一个局部参数解。这个解与Painleve II方程的一个特定解有关,但该解不同于通常的Hastings-McLeod解。
摘要: We describe a new universality class for unitary invariant random matrix ensembles. It arises in the double scaling limit of ensembles of random $n \times n$ Hermitian matrices $Z_{n,N}^{-1} |\det M|^{2\alpha} e^{-N \Tr V(M)} dM$ with $\alpha > -1/2$, where the factor $|\det M|^{2\alpha}$ induces critical eigenvalue behavior near the origin. Under the assumption that the limiting mean eigenvalue density associated with $V$ is regular, and that the origin is a right endpoint of its support, we compute the limiting eigenvalue correlation kernel in the double scaling limit as $n, N \to \infty$ such that $n^{2/3}(n/N-1) = O(1)$. We use the Deift-Zhou steepest descent method for the Riemann-Hilbert problem for polynomials on the line orthogonal with respect to the weight $|x|^{2\alpha} e^{-NV(x)}$. Our main attention is on the construction of a local parametrix near the origin by means of the $\psi$-functions associated with a distinguished solution of the Painleve XXXIV equation. This solution is related to a particular solution of the Painleve II equation, which however is different from the usual Hastings-McLeod solution.
评论: 51页,6图
主题: 经典分析与常微分方程 (math.CA) ; 数学物理 (math-ph)
MSC 类: 15A52, 33E17, 34M55
引用方式: arXiv:0704.1972 [math.CA]
  (或者 arXiv:0704.1972v1 [math.CA] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.0704.1972
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI
期刊参考: International Mathematics Research Notices 2008, article ID rnn017

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来自: Arno Kuijlaars [查看电子邮件]
[v1] 星期一, 2007 年 4 月 16 日 10:22:20 UTC (52 KB)
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