标题： 弱Cohen-Macaulay偏序集和一类有限维分次二次代数 显示英文标题

标题： Weakly Cohen-Macaulay posets and a class of finite-dimensional graded quadratic algebras

摘要： 对于一个有限排名偏序集$\Gamma$，我们关联一个有限维分次二次代数$R_\Gamma$。 假设$\Gamma$满足一个称为一致的组合条件，$R_{\Gamma}$与一个著名的代数有关，即分裂代数$A_{\Gamma}$。 由 Gelfand、Retakh、Serconek 和 Wilson 首次引入，分裂代数起源于分解非交换多项式的问题。 给定一个有限排名偏序集$\Gamma$，我们提出问题：$R_{\Gamma}$是否为 Koszul？ $R_{\Gamma}$的 Koszul 性与$\Gamma$的一个组合拓扑性质称为 Cohen-Macaulay 相关。 Kloefkorn 和 Shelton 证明了如果$\Gamma$是一个有限的分层循环偏序集，那么$\Gamma$是 Cohen-Macaulay 当且仅当$\Gamma$是均匀的且$R_{\Gamma}$是 Koszul。 我们定义了 Cohen-Macaulay 的一个新的推广，称为弱 Cohen-Macaulay，并注意到这个新类包括具有不连通开子区间的偏序集。 我们证明：如果$\Gamma$是一个有限的分层循环偏序集，那么$\Gamma$是弱 Cohen-Macaulay 的当且仅当$R_{\Gamma}$是 Koszul 的。 显示英文摘要

摘要： To a finite ranked poset $\Gamma$ we associate a finite-dimensional graded quadratic algebra $R_\Gamma$. Assuming $\Gamma$ satisfies a combinatorial condition known as uniform, $R_{\Gamma}$ is related to a well-known algebra, the splitting algebra $A_{\Gamma}$. First introduced by Gelfand, Retakh, Serconek, and Wilson, splitting algebras originated from the problem of factoring non-commuting polynomials. Given a finite ranked poset $\Gamma$, we ask: Is $R_{\Gamma}$ Koszul? The Koszulity of $R_{\Gamma}$ is related to a combinatorial topology property of $\Gamma$ called Cohen-Macaulay. Kloefkorn and Shelton proved that if $\Gamma$ is a finite ranked cyclic poset, then $\Gamma$ is Cohen-Macaulay if and only if $\Gamma$ is uniform and $R_{\Gamma}$ is Koszul. We define a new generalization of Cohen-Macaulay, weakly Cohen-Macaulay, and we note that this new class includes posets with disconnected open subintervals. We prove: if $\Gamma$ is a finite ranked cyclic poset, then $\Gamma$ is weakly Cohen-Macaulay if and only if $R_{\Gamma}$ is Koszul.