标题： 具有密度抑制运动性的模式形成动力学模型的全局存在性 显示英文标题

标题： Global Existence for a Kinetic Model of Pattern Formation with Density-suppressed Motilities

摘要： 在本文中，我们考虑以下关于模式形成的动能模型\begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta (\gamma (v)u)+\mu u(1-u) -\Delta v+v=u \end{cases} \qquad (0.1) \end{equation}在光滑有界域$\Omega\subset\mathbb{R}^n$，$n\geq1$中经典解的全局存在性，且具有无通量边界条件。 此处，$\mu\geq0$是任意给定的常数。 函数$\gamma(\cdot)$表示依赖于信号的扩散运动性，并且在$v$中是递减的，这通过自捕获机制在条纹图案形成过程中模拟密度抑制的运动性 [8,20]。 分析中的主要困难在于扩散可能的退化性，如$v\nearrow+\infty.$所示。在本次贡献中，基于对非线性结构的细致观察，我们开发了一种新方法，以排除所有满足$\gamma(v)>0$和$\gamma'(v)\leq0$的光滑趋化函数在任意空间维数下的有限时间退化性，其中$v\geq0$。然后，我们在二维情况下证明了（0.1）的经典解的全局存在性，对于任何$\mu\geq0$。 此外，如果$1/\gamma$满足某些多项式增长条件或者$\mu>0.$。此外，我们特别关注特定情况$\gamma(v)=e^{-v}$，其中$\mu=0$。在二维情况下观察到一种新的临界现象，其中爆破发生在无限时间而非有限时间。 显示英文摘要

摘要： In this paper, we consider global existence of classical solutions to the following kinetic model of pattern formation \begin{equation} \begin{cases} u_t=\Delta (\gamma (v)u)+\mu u(1-u) -\Delta v+v=u \end{cases} \qquad (0.1) \end{equation}in a smooth bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ with no-flux boundary conditions. Here, $\mu\geq0$ is any given constant. The function $\gamma(\cdot)$ represents a signal-dependent diffusion motility and is decreasing in $v$ which models a density-suppressed motility in process of stripe pattern formation through self-trapping mechanism [8,20]. The major difficulty in analysis lies in the possible degeneracy of diffusion as $v\nearrow+\infty.$ In the present contribution, based on a subtle observation of the nonlinear structure, we develop a new method to rule out finite-time degeneracy in any spatial dimension for all smooth motility function satisfying $\gamma(v)>0$ and $\gamma'(v)\leq0$ for $v\geq0$. Then we prove global existence of classical solution for (0.1) in the two-dimensional setting with any $\mu\geq0$. Moreover, the global solution is proven to be uniform-in-time bounded if either $1/\gamma$ satisfies certain polynomial growth condition or $\mu>0.$ Besides, we pay particular attention to the specific case $\gamma(v)=e^{-v}$ with $\mu=0$. A novel critical phenomenon in the two-dimensional setting is observed where blowup takes place in infinite time rather than finite time in our model.