标题： 非线性分数问题的小阶渐近行为 显示英文标题

标题： Small order asymptotics for nonlinear fractional problems

摘要： 我们研究涉及分数拉普拉斯算子阶数$2s$的边界值非线性问题解的极限行为，当参数$s$趋近于零时。 特别是，我们证明最小能量解收敛（在子序列意义上）到一个关于对数拉普拉斯算子的极限问题的非平凡非负最小能量解，即傅里叶符号为$\ln(|\xi|^2)$的伪微分算子。 这些结果受到非局部模型的一些应用的启发，其中参数$s$的小值会给出最优选择。 我们的方法基于变分方法、统一的能量导出估计以及一种新的对数型 Sobolev 不等式的使用。 显示英文摘要

摘要： We study the limiting behavior of solutions to boundary value nonlinear problems involving the fractional Laplacian of order $2s$ when the parameter $s$ tends to zero. In particular, we show that least-energy solutions converge (up to a subsequence) to a nontrivial nonnegative least-energy solution of a limiting problem in terms of the logarithmic Laplacian, i.e., the pseudodifferential operator with Fourier symbol $\ln(|\xi|^2)$. These results are motivated by some applications of nonlocal models where a small value for the parameter $s$ yields the optimal choice. Our approach is based on variational methods, uniform energy-derived estimates, and the use of a new logarithmic-type Sobolev inequality.