标题： 具有边界且平均曲率依赖于高斯映射的紧致曲面 显示英文标题

标题： Compact surfaces with boundary with prescribed mean curvature depending on the Gauss map

摘要： 给定一个在单位球体$\mathbb{S}^2$上定义的$C^1$函数$\mathcal{H}$，一个$\mathcal{H}$-曲面$M$是欧几里得空间$\mathbb{R}^3$中的一个曲面，其平均曲率$H_M$满足$H_M(p)=\mathcal{H}(N_p)$，$p\in M$，其中$N$是$M$的高斯映射。 给定一个闭合的简单曲线$\Gamma\subset\mathbb{R}^3$和一个函数$\mathcal{H}$，在本文中，我们研究了在$\Gamma$的条件下，跨越$\Gamma$的紧致$\mathcal{H}$-曲面的几何结构。 在对$\mathcal{H}$做出适度假设的情况下，我们证明了闭合$\mathcal{H}$-曲面的不存在性，这与常平均曲率的经典情况形成对比。 我们给出关于$\mathcal{H}$的条件，以确保如果$\Gamma$是一个圆，则$M$是一个旋转曲面。 我们还建立了在曲面高度的基础上对$\mathcal{H}$-曲面面积的估计的存在性。 显示英文摘要

摘要： Given a $C^1$ function $\mathcal{H}$ defined in the unit sphere $\mathbb{S}^2$, an $\mathcal{H}$-surface $M$ is a surface in the Euclidean space $\mathbb{R}^3$ whose mean curvature $H_M$ satisfies $H_M(p)=\mathcal{H}(N_p)$, $p\in M$, where $N$ is the Gauss map of $M$. Given a closed simple curve $\Gamma\subset\mathbb{R}^3$ and a function $\mathcal{H}$, in this paper we investigate the geometry of compact $\mathcal{H}$-surfaces spanning $\Gamma$ in terms of $\Gamma$. Under mild assumptions on $\mathcal{H}$, we prove non-existence of closed $\mathcal{H}$-surfaces, in contrast with the classical case of constant mean curvature. We give conditions on $\mathcal{H}$ that ensure that if $\Gamma$ is a circle, then $M$ is a rotational surface. We also establish the existence of estimates of the area of $\mathcal{H}$-surfaces in terms of the height of the surface.