标题： 莫迪卡类型估计和超定椭圆问题的曲率结果 显示英文标题

标题： Modica type estimates and curvature results for overdetermined elliptic problems

摘要： 在本文中，我们建立了关于超定椭圆问题 \begin{equation*} \begin{cases} \Delta u+f(u) =0& \mbox{in $\Omega$, }\\ u>0 &\mbox{in $\Omega$, } u=0 &\mbox{on $\partial\Omega$, } \partial_{\nu} u=-\kappa &\mbox{on $\partial\Omega$, } \end{cases} \end{equation*} 有界解的 Modica 类似估计，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n},n\geq 2$。 正如我们将看到的，边界的出现改变了整个解的 Modica 估计的通常形式。 我们还将讨论等号情况。 从这些估计中，我们将推导出在 $\kappa$ 和 $f$的某种条件下关于 $\partial \Omega$曲率的信息。 证明使用了最大原理以及缩放论证，并通过矛盾论证仔细地进行极限过程。 显示英文摘要

摘要： In this paper, we establish a Modica type estimate on bounded solutions to the overdetermined elliptic problem \begin{equation*} \begin{cases} \Delta u+f(u) =0& \mbox{in $\Omega$, }\\ u>0 &\mbox{in $\Omega$, } u=0 &\mbox{on $\partial\Omega$, } \partial_{\nu} u=-\kappa &\mbox{on $\partial\Omega$, } \end{cases} \end{equation*} where $\Omega\subset\mathbb{R}^{n},n\geq 2$. As we will see, the presence of the boundary changes the usual form of the Modica estimate for entire solutions. We will also discuss the equality case. From such estimates we will deduce information about the curvature of $\partial \Omega$ under a certain condition on $\kappa$ and $f$. The proof uses the maximum principle together with scaling arguments and a careful passage to the limit in the arguments by contradiction.