标题： Lommel函数，Pade逼近和超几何函数 显示英文标题

标题： Lommel functions, Padé approximants and hypergeometric functions

摘要： 我们考虑参数$(\mu,\nu)$的不同值下的 Lommel 函数$s_{\mu,\nu}(z)$。 我们证明，如果$(\mu,\nu)$是半整数，则可以使用多项式和三角函数的显式组合来描述这些函数。 这些多项式被发现是三角函数的 Padé 逼近。 讨论了多项式零点的数值性质。 此外，当$\mu$是整数时，$s_{\mu,\nu}(z)$可以写成涉及三角函数显式组合的积分。 给出了一个闭合公式，用于$_2F_1\left(\frac{1}{2}+\nu,\frac{1}{2}-\nu;\mu+\frac{1}{2};\sin(\frac{\theta}{2})^2\right)$，其中$\mu$是整数。 显示英文摘要

摘要： We consider the Lommel functions $s_{\mu,\nu}(z)$ for different values of the parameters $(\mu,\nu)$. We show that if $(\mu,\nu)$ are half integers, then it is possible to describe these functions with an explicit combination of polynomials and trigonometric functions. The polynomials turn out to give Pad\'e approximants for the trigonometric functions. Numerical properties of the zeros of the polynomials are discussed. Also, when $\mu$ is an integer, $s_{\mu,\nu}(z)$ can be written as an integral involving an explicit combination of trigonometric functions. A closed formula for $_2F_1\left(\frac{1}{2}+\nu,\frac{1}{2}-\nu;\mu+\frac{1}{2};\sin(\frac{\theta}{2})^2\right)$ with $\mu$ an integer is given.