标题： 高阶Steklov和混合Steklov-Neumann特征值在有洞区域上的界 显示英文标题

标题： Bounds for higher Steklov and mixed Steklov Neumann eigenvalues on domains with holes

摘要： 在本文中，我们研究光滑有界域中的Steklov特征值和混合SteklovNeumann特征值，在$\mathbb{R}^{n}$，$n \geq 2$，有一个球形空腔。 我们关注与Steklov特征值相关的两个主要结果。 首先，我们在同心环形区域上获得了第二个非零Steklov特征值的显式表达式。 其次，我们推导了具有阶数为$4$对称性和中心移除一个球体的区域$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$上的第一个$n$非零Steklov特征值的精确上界。 该界限是根据与$\Omega$体积相同的同心环形区域上的相应Steklov特征值给出的。 接下来，我们考虑在 $4^{\text{th}}$ 阶对称域中具有球形空腔的 $\mathbb{R}^{n}$ 上的混合 Steklov Neumann 特征值问题，并得到第一个 $n$ 非零特征值的上界。 我们还提供了一些例子来说明我们结果中的对称性假设是关键的。 最后，我们使用 FreeFEM++ 对这些特征值进行了一些数值观察，并将其作为猜想提出。 显示英文摘要

摘要： In this article, we study Steklov eigenvalues and mixed Steklov Neumann eigenvalues on a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^{n}$, $n \geq 2$, having a spherical hole. We focus on two main results related to Steklov eigenvalues. First, we obtain explicit expression for the second nonzero Steklov eigenvalue on concentric annular domain. Secondly, we derive a sharp upper bound of the first $n$ nonzero Steklov eigenvalues on a domain $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ having symmetry of order $4$ and a ball removed from its center. This bound is given in terms of the corresponding Steklov eigenvalues on a concentric annular domain of the same volume as $\Omega$. Next, we consider the mixed Steklov Neumann eigenvalue problem on $4^{\text{th}}$ order symmetric domains in $\mathbb{R}^{n}$ having a spherical hole and obtain upper bound of the first $n$ nonzero eigenvalues. We also provide some examples to illustrate that symmetry assumption in our results is crucial. Finally, We make some numerical observations about these eigenvalues using FreeFEM++ and state them as conjectures.