标题： 格罗莫夫-豪斯多夫和格罗莫夫-普罗霍罗夫空间的拓扑维数 显示英文标题

标题： Topological dimension of the Gromov-Hausdorff and Gromov-Prokhorov spaces

摘要： Gromov-Hausdorff距离是一种非相似度度量，用于捕捉两个空间与等距之间的差距。 Gromov-Prokhorov距离是对于度量测度空间的类似概念。 在本文中，我们研究了Gromov-Hausdorff和Gromov-Prokhorov空间的拓扑维数。 我们证明了具有最多$n$个点的度量空间的同构类空间，赋予Gromov-Hausdorff距离后的维数为$\frac{n(n-1)}{2}$，而支持由$n$个点组成的度量测度空间的mm-同构类空间的维数为$\frac{(n+2)(n-1)}{2}$。 因此，所有有限度量空间的同构类空间以及所有有限度量测度空间的mm-同构类空间都是强可数维的。 如果基数没有限制，这些空间则是强无限维的。 显示英文摘要

摘要： The Gromov-Hausdorff distance is a dissimilarity metric capturing how far two spaces are from being isometric. The Gromov-Prokhorov distance is a similar notion for metric measure spaces. In this paper, we study the topological dimension of the Gromov-Hausdorff and Gromov-Prokhorov spaces. We show that the dimension of the space of isometry classes of metric spaces with at most $n$ points endowed with the Gromov-Hausdorff distance is $\frac{n(n-1)}{2}$, and that of mm-isomorphism classes of metric measure spaces whose support consists of $n$ points is $\frac{(n+2)(n-1)}{2}$. Hence, the spaces of all isometry classes of finite metric spaces and of all mm-isomorphism classes of finite metric measure spaces are strongly countable dimensional. If, instead, the cardinalities are not limited, the spaces are strongly infinite-dimensional.