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度量几何

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显示 2025年07月09日, 星期三 新的列表

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交叉提交 (展示 1 之 1 条目 )

[1] arXiv:2507.03178 (交叉列表自 cs.IT) [中文pdf, pdf, 其他]
标题: 格的广义θ级数
标题: Generalized Theta Series of a Lattice
Maiara F. Bollauf, Hsuan-Yin Lin
评论: 论文已被接受在2025年IEEE信息理论研讨会(ITW 2025)上发表
主题: 信息论 (cs.IT)

模仿线性码的广义汉明重量的想法,我们引入了一个新的格不变量,即广义θ级数。 应用范围从识别稳定格到格同构问题。 此外,我们提供了对等距格上保密增益猜想的反例,该猜想声称等距(更一般地,形式单模)格的θ级数与整数格$\mathbb{Z}^n$的θ级数的比值在(唯一)对称点处达到最小值。

Mimicking the idea of the generalized Hamming weight of linear codes, we introduce a new lattice invariant, the generalized theta series. Applications range from identifying stable lattices to the lattice isomorphism problem. Moreover, we provide counterexamples for the secrecy gain conjecture on isodual lattices, which claims that the ratio of the theta series of an isodual (and more generally, formally unimodular) lattice by the theta series of the integer lattice $\mathbb{Z}^n$ is minimized at a (unique) symmetry point.

替换提交 (展示 6 之 6 条目 )

[2] arXiv:2105.03448 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]
标题: 测试子空间元组的同构性
标题: Testing isomorphism between tuples of subspaces
Emily J. King, Dustin G. Mixon, Shayne Waldron
主题: 度量几何 (math.MG)

给定两个子空间的元组,你能判断这些元组是否同构吗? 我们开发了理论和算法来解决这个基本问题。 我们关注的是环境向量空间由酉群或一般线性群作用的同构。 如果同构还允许子空间的排列,则该问题至少与图同构一样困难。 否则,我们提供了一系列多项式时间算法,并附有Matlab实现来测试同构。 关键词:子空间同构,格拉斯曼流形,巴格曼不变量,$H^\ast$-代数,箭图,图同构

Given two tuples of subspaces, can you tell whether the tuples are isomorphic? We develop theory and algorithms to address this fundamental question. We focus on isomorphisms in which the ambient vector space is acted on by either a unitary group or general linear group. If isomorphism also allows permutations of the subspaces, then the problem is at least as hard as graph isomorphism. Otherwise, we provide a variety of polynomial-time algorithms with Matlab implementations to test for isomorphism. Keywords: subspace isomorphism, Grassmannian, Bargmann invariants, $H^\ast$-algebras, quivers, graph isomorphism

[3] arXiv:2503.02599 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]
标题: 球体的等距变换
标题: Isometries of the class of ball-bodies
Shiri Artstein-Avidan, Arnon Chor, Dan Florentin
评论: 最终版本
主题: 度量几何 (math.MG)

我们表征了以Hausdorff距离为度量的由欧几里得单位球交集构成的体类的满射等距映射。 我们证明了这样的任何等距映射都可以表示为刚体运动与恒等映射或c-对偶映射的复合,其中该c-对偶映射将此类中的一个体映射到以该体中点为中心的欧几里得单位球的交集。

We characterize the surjective isometries, with respect to the Hausdorff distance, of the class of bodies given by intersections of Euclidean unit balls. We show that any such isometry is given by the composition of a rigid motion with either the identity or the c-duality mapping, which maps a body in this class to the intersection of Euclidean unit balls centered at points in the body.

[4] arXiv:2308.16603 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]
标题: 加权逼近对于上确界集
标题: Weighted approximation for limsup sets
Gerardo González Robert, Mumtaz Hussain, Nikita Shulga, Benjamin Ward
评论: 我们已从本文中删除了关于均匀分布序列的章节,以便将其作为一篇独立论文发表。当前版本有61页,一些小错误和不准确之处已得到修正。
主题: 数论 (math.NT) ; 动力系统 (math.DS) ; 度量几何 (math.MG)

Khintchine、Groshev、Jarník 和 Besicovitch 在丢番图逼近中的定理是关于$\Psi$-良好逼近集的度量性质的基本结果。 这些基础结果后来被推广到实线性形式(矩阵)的加权丢番图逼近框架中。 在本文中,我们在一系列设置中证明了这些加权结果的类似定理,包括$p$-进数(定理7和8)、复数(定理9和10)、四元数(定理11和12)和形式幂级数(定理13和14)。 证明这些结果主要部分的关键工具是最近由 Kleinbock--Wang [Adv. Math. (2023)] 和 Wang--Wu [Math. Ann. (2021)] 引入的加权普遍系统和加权质量传递原理。

Theorems of Khintchine, Groshev, Jarn\'ik, and Besicovitch in Diophantine approximation are fundamental results on the metric properties of $\Psi$-well approximable sets. These foundational results have since been generalised to the framework of weighted Diophantine approximation for systems of real linear forms (matrices). In this article, we prove analogues of these weighted results in a range of settings including the $p$-adics (Theorems 7 and 8), complex numbers (Theorems 9 and 10), quaternions (Theorems 11 and 12), and formal power series (Theorems 13 and 14). The key tools in proving the main parts of these results are the weighted ubiquitous systems and weighted mass transference principle introduced recently by Kleinbock--Wang [Adv. Math. (2023)] and Wang--Wu [Math. Ann. (2021)].

[5] arXiv:2401.17867 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]
标题: 关于抛物线上分形测度的傅里叶变换
标题: On Fourier transforms of fractal measures on the parabola
Tuomas Orponen, Carmelo Puliatti, Aleksi Pyörälä
评论: 22页。v3:已纳入审稿人意见,将发表于《美国数学学会汇刊》
主题: 经典分析与常微分方程 (math.CA) ; 度量几何 (math.MG)

设$s \in [0,1]$和$t \in [0,\min\{3s,s + 1\})$。 设$\sigma$是一个在抛物线$\mathbb{P} = \{(x,x^{2}) : x \in [-1,1]\}$上支持的 Borel 测度,满足$s$维的 Frostman 条件$\sigma(B(x,r)) \leq r^{s}$。 回答第一位作者的问题,我们证明存在一个指数$p = p(s,t) \geq 1$,使得$$\|\hat{\sigma}\|_{L^{p}(B(R))} \leq C_{s,t}R^{(2 - t)/p}, \qquad R \geq 1.$$。此外,当$s \geq 2/3$和$t \in [0,s + 1)$时,之前的不等式对于$p \geq 6$成立。 我们还得到了上述结果的分形几何对应结果。 如果 $K \subset \mathbb{P}$ 是一个 Borel 集合且 $\dim_{\mathrm{H}} K = s \in [0,1]$,并且 $n \geq 1$ 是一个整数,那么 $$ \dim_{\mathrm{H}}(nK) \geq \min\{3s - s \cdot 2^{-(n - 2)},s + 1\}.$$

Let $s \in [0,1]$ and $t \in [0,\min\{3s,s + 1\})$. Let $\sigma$ be a Borel measure supported on the parabola $\mathbb{P} = \{(x,x^{2}) : x \in [-1,1]\}$ satisfying the $s$-dimensional Frostman condition $\sigma(B(x,r)) \leq r^{s}$. Answering a question of the first author, we show that there exists an exponent $p = p(s,t) \geq 1$ such that $$\|\hat{\sigma}\|_{L^{p}(B(R))} \leq C_{s,t}R^{(2 - t)/p}, \qquad R \geq 1.$$ Moreover, when $s \geq 2/3$ and $t \in [0,s + 1)$, the previous inequality is true for $p \geq 6$. We also obtain the following fractal geometric counterpart of the previous results. If $K \subset \mathbb{P}$ is a Borel set with $\dim_{\mathrm{H}} K = s \in [0,1]$, and $n \geq 1$ is an integer, then $$ \dim_{\mathrm{H}}(nK) \geq \min\{3s - s \cdot 2^{-(n - 2)},s + 1\}.$$

[6] arXiv:2407.07379 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]
标题: 洛伦兹问题在赫斯enberg群上
标题: Lorentzian problems on the Heisenberg group
I.A. Galyaev, Yu.L. Sachkov
评论: 在俄语中
主题: 微分几何 (math.DG) ; 度量几何 (math.MG) ; 优化与控制 (math.OC)

三个关于Heisenberg群的左不变洛伦兹问题被考虑。 庞特里亚金最大原理被应用于这两个问题,并得到了异常和正常极值轨迹的参数化。 研究了可达性集合和最优轨迹的存在性。

Three left-invariant Lorentzian problems on the Heisenberg group are considered. The Pontryagin maximum principle was applied to both problems and a parameterization of abnormal and normal extremal trajectories was obtained. Reachability sets and the existence of optimal trajectories are investigated.

[7] arXiv:2506.19362 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]
标题: 斯特姆利亚格子和非周期性瓷砖集合
标题: Sturmian lattices and Aperiodic tile sets
Shigeki Akiyama, Tadahisa Hamada, Katsuki Ito
评论: 次要更新
主题: 组合数学 (math.CO) ; 动力系统 (math.DS) ; 度量几何 (math.MG) ; 数论 (math.NT)

我们基于二次斜率的Sturmian词给出了非周期性瓷砖集合。 该方法适用于任何二次无理斜率,并且我们可以生成无限多个非周期性瓷砖集合,其底层缩放常数是任何实二次域的单位。 我们的构造有两个关键要素。 第一个是“Sturmian格子”,这是一种由Sturmian词生成的有趣的网格结构,在一种非周期性单块瓷砖称为Smith Turtle中出现。 第二个是Delone集的有界位移等价性,这在该构造中起着核心作用。

We give aperiodic tile sets based on Sturmian words of quadratic slopes. The method works for any quadratic irrational slope and we can produce infinitely many aperiodic tile sets whose underlying scaling constant is a unit of any real quadratic field. There are two key ingredients in our construction. The first one is ``Sturmian lattices'', an interesting grid structure generated by Sturmian words that emerged in an aperiodic monotile called Smith Turtle. The second is the bounded displacement equivalence of Delone sets, which plays a central role in this construction.

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