标题： 解析与代数多项式的稠密性 显示英文标题

标题： Analytic Versus Algebraic Density of Polynomials

摘要： 我们证明了在区间$[0,\infty)$上的测度$\mu$满足非常温和的条件时，对于任何$n=0,1,\ldots$，$\{x^k\}_{k=n}^{\infty}$的张成在$L^2(\mu)$中是稠密的。我们给出了这个结果的两种不同证明，一种基于 Berg 和 Thill 的密度指数，另一种基于希尔伯特空间$L^2(\mu)\oplus \mathbb{C}^{n+1}$。 使用Berg和Durán的确定性指数，我们证明如果测度$\mu$在$\mathbb{R}$上具有无限的确定性指数，那么多项式理想$R(x)\mathbb{C}[x]$在$L^2(\mu)$中对于任何多项式$R$都是稠密的，该多项式的零点在$\mu$下没有质量。 显示英文摘要

摘要： We show that under very mild conditions on a measure $\mu$ on the interval $[0,\infty)$, the span of $\{x^k\}_{k=n}^{\infty}$ is dense in $L^2(\mu)$ for any $n=0,1,\ldots$. We present two different proofs of this result, one based on the density index of Berg and Thill and one based on the Hilbert space $L^2(\mu)\oplus \mathbb{C}^{n+1}$. Using the index of determinacy of Berg and Dur\'an we prove that if the measure $\mu$ on $\mathbb{R}$ has infinite index of determinacy then the polynomial ideal $R(x)\mathbb{C}[x]$ is dense in $L^2(\mu)$ for any polynomial $R$ with zeros having no mass under $\mu$.