标题： 大幂次的二元单项式理想的最小生成集 显示英文标题

标题： Minimal generating sets of large powers of bivariate monomial ideals

摘要： 对于单项式理想$I$，已知随着$n$的增加，极小生成元的数量$\mu(I^n)$最终会遵循多项式模式。 一般来说，关于这种模式出现的幂次了解甚少。 甚至更少的是关于该幂次之后极小生成元的确切形式。 我们证明了对于足够大的$s\in\mathbb{N}$，每个更高次幂$I^{s+\ell}$都可以由$I^s$的某些子理想构造而成。 我们进一步证明，这样的 $s$ 可以被选择为满足 $s\le\mu(I)(d^2-1)+1$，其中 $d$ 是一个上限由集合 $\mathsf{G}(I)$ 中 $I$ 的极小生成元出现的最高 $x$- 或 $y$-次方确定的常数。 这提供了对$\mathsf{G}(I^n)$的显式描述，相对于$\mathsf{G}(I^s)$，显著降低了确定双变量单项式理想高次幂的计算复杂度。 这进一步使我们能够显式计算所有$n\ge s$的$\mu(I^n)$，其表达式为$n$的线性多项式。 我们包含了在 SageMath 中附加实现的运行时间测量结果。 显示英文摘要

摘要： For a monomial ideal $I$, it is known that for increasing $n$ the number of minimal generators $\mu(I^n)$ eventually follows a polynomial pattern. In general, little is known about the power at which this pattern emerges. Even less is known about the exact form of the minimal generators after this power. We show that for sufficiently large $s\in\mathbb{N}$, every higher power $I^{s+\ell}$ can be constructed from certain subideals of $I^s$. We further show that such an $s$ can be chosen to satisfy $s\le\mu(I)(d^2-1)+1$, where $d$ is a constant bounded above by the maximal $x$- or $y$-degree appearing in the set $\mathsf{G}(I)$ of minimal generators of $I$. This provides an explicit description of $\mathsf{G}(I^n)$ in terms of $\mathsf{G}(I^s)$, significantlyreducing computational complexity in determining high powers of bivariate monomial ideals. This further enables us to explicitly compute $\mu(I^n)$ for all $n\ge s$ in terms of a linear polynomial in $n$. We include runtime measurements for the attached implementation in SageMath.