标题： 实线上傅里叶求和公式的完全分类 显示英文标题

标题： A Complete Classification of Fourier Summation Formulas on the real line

摘要： 我们完全分类了形式为 $$ \int_{\mathbb{R}} \widehat{\varphi}(t) d\mu(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a(\lambda_n)\varphi(\lambda_n), $$ 的傅里叶求和公式，该公式对任意检验函数 $\varphi$ 成立，其中 $\widehat\varphi$ 是 $\varphi$ 的傅里叶变换，$\mu$ 是 $\mathbb{R}$ 上的固定复值测度，$a:\{\lambda_n\}_{n\geq 0}\to\mathbb{C}$ 是固定函数。 我们仅假设对于某个 $c_1,c_2>0$，满足衰减条件 $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{d |\mu|(t)}{(1+t^2)^{c_1}} + \sum_{n\geq 0} |a(\lambda_n)|e^{-c_2 |\lambda_n|}<\infty, $$。 这完成了第一作者之前开始的工作，其中需要条件 $c_1\leq 1$。 我们证明，任何这样的对 $(\mu,a)$ 都可以唯一地与上半平面中的一个既是概周期又属于某一高指标的内函数类别的全纯映射 $F(z)$ 相关联。 反之亦然： 对于任何这样的函数 $F$，都可以生成一个傅里叶求和对 $(\mu,a)$。 我们给出了以前的结果未涉及的一些重要例子，例如塞尔伯格迹公式。 显示英文摘要

摘要： We completely classify Fourier summation formulas of the form $$ \int_{\mathbb{R}} \widehat{\varphi}(t) d\mu(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a(\lambda_n)\varphi(\lambda_n), $$ that hold for any test function $\varphi$, where $\widehat\varphi$ is the Fourier transform of $\varphi$, $\mu$ is a fixed complex measure on $\mathbb{R}$ and $a:\{\lambda_n\}_{n\geq 0}\to\mathbb{C}$ is a fixed function. We only assume the decay condition $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{d |\mu|(t)}{(1+t^2)^{c_1}} + \sum_{n\geq 0} |a(\lambda_n)|e^{-c_2 |\lambda_n|}<\infty, $$ for some $c_1,c_2>0$. This completes the work initiated by the first author previously, where the condition $c_1\leq 1$ was required. We prove that any such pair $(\mu,a)$ can be uniquely associated with a holomorphic map $F(z)$ in the upper-half space that is both almost periodic and belongs to a certain higher index Nevanlinna class. The converse is also true: For any such function $F$ it is possible to generate a Fourier summation pair $(\mu,a)$. We provide important examples of such summation formulas not contemplated by the previous results, such as Selberg's trace formula.