数学 > 偏微分方程分析
[提交于 2025年5月30日
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标题: Adimurthi-Druet型Adams-Trudinger-Moser不等式及其受消失现象影响的极值函数
标题: Adams-Trudinger-Moser inequalities of Adimurthi-Druet type regulated by the vanishing phenomenon and its extremals
摘要: 设 $W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^n)$ 带上 $1\le m < n$ 是临界指数增长阈值的标准高阶导数Sobolev空间。我们研究了全空间 $\mathbb{R}^n$ 上的一种新的Adams-Adimurthi-Druet型不等式,该不等式受到消失现象的严重影响。 具体地,我们证明了 \begin{equation}\nonumber \sup_{\underset{\|\nabla^{m} u\|_{\frac{n}{m}}^{^{\frac{n}{m}}}+\|u\|_{\frac{n}{m}}^{\frac{n}{m}} \leq 1}{u\in W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^n)}} \int_{\mathbb{R}^n}\Phi\left(\beta \left(\frac{1+\alpha\|u\|_{\frac{n}{m}}^{\frac{n}{m}}}{1-\gamma\alpha\|u\|_{\frac{n}{m}}^{\frac{n}{m}}}\right)^{\frac{m}{n-m}}|u|^{\frac{n}{n-m}}\right) \mathrm{d}x<+\infty. \end{equation} 其中 $0\le \alpha<1$, $0<\gamma<\frac{1}{\alpha}-1$ 对于 $\alpha>0$, $\nabla^{m} u$是 $u$, $0\le\beta\le \beta_0$的 $m$阶梯度,而 $\beta_0$是Adams临界常数,并且 $\Phi(t) = \operatorname{e}^{t}-\sum_{j=0}^{j_{m,n}-2}\frac{t^{j}}{j!}$和 $j_{m,n}=\min\{j\in\mathbb{N}\;:\: j\ge n/m\}$。 此外,我们证明了常数 $\beta_0$ 是尖锐的。 在次临界情形 $\beta<\beta_0$ 下,研究了极值函数的存在性和非存在性,对于 $n=2m$,证明了在临界情形 $\beta=\beta_0$ 下 $n=4$ 和 $m=2$ 的可达到性。 我们的方法基于爆破分析,这是由DelaTorre和Mancini近期引入的截断技巧\cite{DelaTorre}以及Chen-Lu-Zhu的一些想法\cite{luluzhu20},他们研究了$\mathbb{R}^4$中临界Adams不等式。
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