数学 > 数值分析
[提交于 2025年6月3日
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标题: 牛顿-勒让德多项式在矩形上的势具有位移结构
标题: Newtonian potentials of Legendre polynomials on rectangles have displacement structure
摘要: 泊松方程的特解可以通过牛顿势以及涉及相应格林函数的积分来构造,在二维情况下,该格林函数具有对数奇异性。 这种奇异性对于计算积分构成了重大挑战,通常通过专门设计的高精度求积方法(需要大量函数和核函数的评估)来克服。 我们提出了一种吸引人的替代方案:我们证明了牛顿势(及其梯度)作用于勒让德多项式(及其张量积)时,可以表示为满足简单且显式的递推关系的复积分,这些递推关系可用于精确计算奇异积分,即完全避免了奇异积分求积。 递推关系的非齐次部分具有低秩结构(对于牛顿势而言,其秩最多为三),因此这些递推关系具有位移结构。 直接使用递推关系是一种快速的方法,用于在积分域内或附近进行求值,这种方法在低阶多项式逼近时仍然准确;而采用高精度算术则可以使得这种方法在中等阶多项式逼近时也能准确应用。
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