标题： Hodge分解与几乎Kähler流形上的Hard Lefschetz条件 显示英文标题

标题： Hodge decomposition and Hard Lefschetz Condition on almost Kähler manifolds

摘要： 本文讨论闭概凯勒流形 $(X, J,\omega)$ 上的调和形式空间 $\mathcal{H}^{\bullet}_{d}$。 我们证明，如果概凯勒流形 $X$ 上的概复结构 $J$ 在某种意义上不是太不可积，则空间 $\mathcal{H}^{\bullet}_{d}$ 具有霍奇分解 $\mathcal{H}^{k}_{d}=\oplus_{p+q=k}\mathcal{H}^{p,q}_{d}$。 因此，不太不可积的几乎复结构 $J$ 是 $C^{\infty}$-纯且满的，并且在 $\mathcal{H}^{\bullet}_{d}$ 上满足Hard Lefschetz条件（HLC）。 此外，我们可以证明一个关于闭的 $4$-维almost Kähler流形的刚性结果，其中包含 $b^{+}_{2}(X)\geq2$。 显示英文摘要

摘要： In this article, we discuss the spaces of harmonic forms $\mathcal{H}^{\bullet}_{d}$ over a closed almost K\"{a}hler manifold $(X, J,\omega)$. We show that if the almost complex structure $J$ on the almost K\"{a}hler manifold $X$ is not too non-integrable in some sense, then the spaces $\mathcal{H}^{\bullet}_{d}$ have the Hodge decomposition $\mathcal{H}^{k}_{d}=\oplus_{p+q=k}\mathcal{H}^{p,q}_{d}$. As a consequence, the not too non-integrable almost complex structure $J$ is complex $C^{\infty}$-pure-and-full, and the Hard Lefschetz Condition (HLC) on $\mathcal{H}^{\bullet}_{d}$ is satisfied. Moreover, we can prove a rigidity result for the closed $4$-dimensional almost K\"{a}hler manifold with $b^{+}_{2}(X)\geq2$.