标题： 超越内窥镜对于$\mathsf{GL}_2$在$\mathbb{Q}$上带有分歧 2 的 Ramanujan 猜想的界限 显示英文标题

标题： Beyond endoscopy for $\mathsf{GL}_2$ over $\mathbb{Q}$ with ramification 2: bounds towards the Ramanujan conjecture

摘要： 我们继续推广Altuğ在无分歧情形下对$\mathsf{GL}_2$在$\mathbb{Q}$上的工作，针对\emph{超越内窥镜}推广到分歧情形，其中分歧发生在$S=\{\infty,q_1,\dots,q_r\}$上，伴随$2\in S$，在推广第一步之后。 我们建立了一个新的证明，用于在分歧情形下关于尖点部分迹的Ramanujan猜想的$1/4$界，这也是通过适应Altuğ的原始方法得到的。 证明分为三个阶段：首先，我们估计迹公式中非椭圆部分的贡献。 然后，我们将之前工作的主要结果应用于分离椭圆部分中的$1$维表示。 最后，我们采用技术性分析估计来限制椭圆部分中的余项。 显示英文摘要

摘要： We continue generalizing Altu\u{g}'s work on $\mathsf{GL}_2$ over $\mathbb{Q}$ in the unramified setting for \emph{Beyond Endoscopy} to the ramified case where ramification occurs at $S=\{\infty,q_1,\dots,q_r\}$ with $2\in S$, after generalizing the first step. We establish a new proof of the $1/4$ bound towards the Ramanujan conjecture for the trace of the cuspidal part in the ramified case, which is also provided by adapting Altu\u{g}'s original approach. The proof proceeds in three stages: First, we estimate the contributions from the non-elliptic parts of the trace formula. Then, we apply the main result from our the previous work to isolate the $1$-dimensional representations within the elliptic part. Finally, we employ technical analytic estimates to bound the remainder terms in the elliptic part.